Таблицы истинности и правила их построения

admin

Алгоритм построения таблиц истинности логических выражений

Сегодня в данной работе будет подробно рассмотрен вопрос построения таблиц истинности логических выражений. С данной проблемой часто встречаются школьники, сдающие единый государственный экзамен по информатике. На самом деле так называемая булева алгебра не сложна, если знать необходимые законы, операции и правила построения таблиц истинности. Этими вопросами мы сегодня и займемся.

Булева алгебра

Алгебра логики основывается на простых логических выражениях, которые связываются между собой операциями, создавая при этом сложные выражения. Следует отметить, что булева алгебра содержит две бинарные операции: умножение и сложение (конъюнкция и дизъюнкция соответственно); одну унарную – инверсия. Все простые выражения (элементы сложного логического выражения) принимают одно из двух значений: «1» или «0», «истина» или «ложь», «+» или «-» соответственно.

Алгебра логики основывается на нескольких довольно простых аксиомах:

  • ассоциативности;
  • коммутативности;
  • поглощения;
  • дистрибутивности;
  • дополнительности.
  • Если знать эти законы и очередность выполнения функций, построение таблиц истинности логических выражений не вызовет никаких затруднений. Напомним, что операции должны выполняться в строгой последовательности: отрицание, умножение, сложение, следствие, эквивалентность, только потом переходят к выполнению операций штрих Шиффера или стрелка Пирса. Кстати говоря, для двух последних функций нет правила очередности, выполняйте их в том порядке, в котором они находятся.

    Правила составления таблицы

    Построение таблиц истинности логических выражений помогает решить многие логические задачи и найти решение сложных громоздких примеров. Стоит отметить, что есть некоторые правила их составления.

    Для того чтобы правильно составить логическую таблицу, необходимо для начала определиться с количеством строк. Как это сделать? Посчитайте количество переменных, входящих в состав сложного выражения, и воспользуйтесь простой формулой: А=2 в степени n. А – это количество строк в составляемой таблице истинности, n – это количество переменных, которые входят в сложное логическое выражение.

    Пример: сложное выражение содержит три переменных (А, В и С), значит, двойку необходимо возвести в третью степень. В составляемой таблице истинности у нас будет восемь строк. Добавьте одну строчку для заглавия столбцов.

    Далее мы обращаемся к нашему выражению и определяем порядок выполняемых действий. Лучше для себя порядок пометить карандашом (один, два и так далее).

    Следующим этапом мы подсчитываем количество операций. Полученное число – это количество столбцов в нашей таблице. Обязательно добавьте еще такое количество столбцов, сколько переменных содержится в вашем выражении, для заполнения возможных комбинаций переменных.

    Далее необходимо заполнить шапку нашей таблицы. Ниже вы видите пример этого.

    Построение таблиц истинности

    Логическая функция – функция, переменные которой принимают одно из двух значений: $1$ или $0$.

    Любую логическую функцию можно задать с помощью таблицы истинности: набор всех возможных аргументов записывается в левой части таблицы, а соответствующие значения логической функции – в правой части.

    Таблица истинности – таблица, которая показывает, какие значения примет составное выражение при всех возможных наборах значений простых выражений, входящих в него.

    Равносильными называются логические выражения, последние столбцы таблиц истинности которых совпадают. Равносильность обозначается с помощью знака $«=»$.

    При составлении таблицы истинности важно учитывать следующий порядок выполнения логических операций:

    Приоритетом в выполнении порядка выполнения операций пользуются скобки.

    Алгоритм построения таблицы истинности логической функции

    Определяют количество строк: кол-во строк = $2^n + 1$ (для строки заголовка), $n$ – количество простых выражений. Например, для функций двух переменных существует $2^2 = 4$ комбинации наборов значений переменных, для функций трех переменных – $2^3 = 8$ и т.д.

    Определяют количество столбцов: кол-во столбцов = кол-во переменных + кол-во логических операций. При определении количества логических операций учитывают также порядок их выполнения.

    Заполняют столбцы результатами выполнения логических операций в определенной последовательности, учитывая таблицы истинности основных логических операций.

    Составить таблицу истинности логического выражения $D=\bar \vee (B \vee C)$.

    Решение:

    Количество простых выражений – $n=3$, значит

    кол-во строк = $2^3 + 1=9$.

    Определим количество столбцов:

    Количество переменных – $3$.

    Количество логических операций и их последовательность:

    Кол-во столбцов = $3 + 3=6$.

    Заполним таблицу, учитывая таблицы истинности логических операций.

    Ничего непонятно?

    Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

    По данному логическому выражению построить таблицу истинности:

    Определим количество строк:

    кол-во строк = $2^3 + 1=9$.

    1. отрицание ($\bar$);
    2. дизъюнкция, т.к. она находится в скобках ($A \vee B$);
    3. конъюнкция ($(A\vee B)\bigwedge \overline$);
    4. отрицание, которое обозначим $F_1$ ($\overline<(A\vee B)\bigwedge \overline>$);
    5. дизъюнкция ($A \vee C$);
    6. конъюнкция ($(A\vee C)\bigwedge B$);
    7. отрицание, которое обозначим $F_2$ ($\overline<(A\vee C)\bigwedge B>$);

    Кол-во столбцов = $3 + 8 = 11$.

    Заполним таблицу, учитывая таблицу истинности логических операций.

    Алгоритм построения логической функции по ее таблице истинности

    1. Выделяют в таблице истинности строки со значением функции, равным $1$.
    2. Выписывают искомую формулу как дизъюнкцию нескольких логических выражений. Количество этих выражений равно количеству выделенных строк.
    3. Каждое логическое выражение в этой дизъюнкции записать как конъюнкцию аргументов функции.
    4. В случае, когда значение какого-то из аргументов функции в соответствующей строке таблицы принимает значение $0$, то этот аргумент записать в виде его отрицания.
    5. По данной таблице истинности некоторой логической функции $Y(A,B)$ cоставить соответствующую логическую функцию.

    6. Значение функции равно $1$ в $1$-й и $3$-й строках таблицы.
    7. Поскольку имеем $2$ строки, получим дизъюнкцию двух элементов:

  • Каждое логическое выражение в этой дизъюнкции запишем как конъюнкцию аргументов функции $A$ и $B$: $\left(A\wedge B\right)\vee \left(A\wedge B\right)$
  • В случае, когда значение в соответствующей строке таблицы равно $0$, запишем этот аргумент с отрицанием, получим искомую функцию:\[Y\left(A,B\right)=\left(\overline\wedge \overline\right)\vee \left(A\wedge \overline\right).\]
  • spravochnick.ru

    Таблицы истинности и правила их построения

    3) подсчитать количество логических операций в логическом выражении и определить количество столбцов в таблице, которое равно количеству переменных плюс количество операций;

    4) ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;

    5) заполнить стобцы входных переменных наборами значений;

    6) провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в п.4 последовательностью.

    Наборы входных переменных, во избежание ошибок, рекомендуют перечислять следующим образом:

    а) разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть колонки нулями, а нижнюю единицами;

    б) разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами нулей и единиц , начиная с группы нулей;

    в) продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами нулей или единиц до тех пор, пока группы нулей и единиц не будут состоять из одного символа.

    Пример 3.9. Для формулыA&(B& ) построить таблицу истинности алгебраически и с использованием электронных таблиц.

    Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк в таблице истинности должно быть 2 3 = 8.

    Количество логических операций в формуле 5, следовательно количество столбцов в таблице истинности должно быть 3 + 5 = 8.

    studfiles.net

    Таблица истинности – это таблица, показывающая, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний

    Согласно определению, таблица истинности логической формулы выражает соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы.
    Для формулы, которая содержит две переменные, таких наборов значений переменных всего четыре: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

    Если формула содержит три переменные, то возможных наборов значений переменных восемь: (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1).

    Количество наборов для формулы с четырьмя переменными равно шестнадцати и т.д.
    Удобной формой записи при нахождении значений формулы является таблица, содержащая кроме значений переменных и значений формулы также и значения промежуточных формул.

    Алгоритм построения таблицы истинности:

  • подсчитать количество переменных n в логическом выражении;
  • определить число строк в таблице m = 2n;
  • подсчитать количество логических операций в формуле;
  • установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;
  • определить количество столбцов в таблице: число переменных плюс число операций;
  • выписать наборы входных переменных ;
  • провести заполнение таблицы истинности по столбикам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в п.4 последовательностью
  • Наборы входных переменных, рекомендуют перечислять следующим образом:

    • определить количество наборов входных переменных;
    • разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть колонки 0, а нижнюю —1;
    • разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами 0 или 1, начиная с группы 0;
    • продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами 0 или 1 до тех пор, пока группы 0 и 1 не будут состоять из одного символа.
    • операции в скобках ()
    • отрицание
    • конъюнкция
    • дизъюнкция
    • импликация
    • эквивалентность
    • ПОСТРОЕНИЕ ТАБЛИЦ ИСТИННОСТИ ДЛЯ СЛОЖНЫХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

      Истинность или ложность сложных суждений представляет собой функцию истинности или ложности простых. Эту функцию называют БУЛЕВОЙ ФУНКЦИЕЙ СУЖДЕНИЙ (F(A,B)).

      Рассмотрим примеры построения таблиц истинности для сложных суждений.

      1. ¬¬ А А (закон «отрицания отрицания»: Отрицание отрицания суждения тождественно самому суждению.

      sites.google.com

      Информатика: таблица истинности. Построение таблиц истинности

      Сегодня мы поговорим о предмете под названием информатика. Таблица истинности, разновидности функций, порядок их выполнения – это наши основные вопросы, на которые мы постараемся найти ответы в статье.

      Обычно данный курс преподается еще в средней школе, но большое количество учеников является причиной недопонимания некоторых особенностей. А если вы собрались посвятить этому свою жизнь, то просто не обойтись без сдачи единого государственного экзамена по информатике. Таблица истинности, преобразование сложных выражений, решение логических задач – это все может встретиться в билете. Сейчас мы рассмотрим более подробно данную тему и поможем вам набрать больше балов на ЕГЭ.

      Предмет логики

      Что же это за предмет — информатика? Таблица истинности – как ее строить? Зачем нужна наука логика? На все эти вопросы мы сейчас с вами ответим.

      Информатика – это довольно увлекательный предмет. Он не может вызывать затруднения у современного общества, ведь все, что нас окружает, так или иначе, относится к компьютеру.

      Основы науки логики даются преподавателями средней школы на уроках информатики. Таблицы истинности, функции, упрощение выражений – все это должны объяснять учителя информатики. Эта наука просто необходима в нашей жизни. Приглядитесь, все подчиняется каким-либо законам. Вы подбросили мяч, он подлетел вверх, но после этого упал опять на землю, это произошло из-за наличия законов физики и силы земного притяжения. Мама варит суп и добавляет соль. Почему когда мы его едим, нам не попадаются крупинки? Все просто, соль растворилась в воде, подчиняясь законам химии.

      Теперь обратите внимание на то, как вы разговариваете.

    • «Если я отвезу своего кота в ветеринарную клинику, то ему сделают прививку».
    • «Сегодня был очень тяжелый день, потому что приходила проверка».
    • «Я не хочу идти в университет, потому что сегодня будет коллоквиум» и так далее.

    Все, что вы говорите, обязательно подчиняется законам логики. Это относится как к деловой, так и к дружеской беседе. Именно по этой причине необходимо понимать законы логики, чтобы не действовать наугад, а быть уверенным в исходе событий.

    Для того чтобы составить таблицу истинности к предложенной вам задаче, необходимо знать логические функции. Что это такое? Логическая функция имеет некоторые переменные, которые являются утверждениями (истинными или ложными), и само значение функции должно дать нам ответ на вопрос: «Выражение истинно или ложно?».

    Все выражения принимают следующие значения:

  • Истина или ложь.
  • И или Л.
  • 1 или 0.
  • Плюс или минус.
  • Здесь отдавайте предпочтение тому способу, который для вас является более удобным. Для того чтобы составить таблицу истинности, нам нужно перечислить все комбинации переменных. Их количество вычисляется по формуле: 2 в степени n. Результат вычисления – это количество возможных комбинаций, переменной n в данной формуле обозначается количество переменных в условии. Если выражение имеет много переменных, то можно воспользоваться калькулятором или сделать для себя небольшую таблицу с возведением двойки в степень.

    Всего в логике выделяют семь функций или связей, соединяющих выражения:

    • Умножение (конъюнкция).
    • Сложение (дизъюнкция).
    • Следствие (импликация).
    • Эквиваленция.
    • Инверсия.
    • Штрих Шеффера.
    • Стрелка Пирса.
    • Первая операция, представленная в списке, имеет название «логическое умножение». Ее графически можно отметить в виде перевернутой галочки, знаками & или *. Вторая в нашем списке операция – логическое сложение, графически обозначается в виде галочки, +. Импликацию называют логическим следствием, обозначается в виде стрелки, указывающей от условия на следствие. Эквиваленция обозначается двухсторонней стрелкой, функция имеет истинное значение только в тех случаях, кода оба значения принимают либо значение «1», либо «0». Инверсию называют логическим отрицанием. Штрих Шеффера называют функцией, которая отрицает конъюнкцию, а стрелку Пирса – функцией, отрицающей дизъюнкцию.

      Основные двоичные функции

      Логическая таблица истинности помогает найти ответ в задаче, но для этого необходимо запомнить таблицы двоичных функций. В этом разделе они будут предоставлены.

      Конъюнкция (умножение). Если два выражения истинны, то в результате мы получаем истину, во всех остальных случаях мы получаем ложь.

      fb.ru

      Это интересно:

      • Приказ 279 минюст Главная / Уголовные дела / Нормативные документы и судебная практика / Назначение наказания и его отбытие / Приказ Минюста РФ N 235 от 01 декабря 2005 г. Приказ Минюста РФ N 235 от 01 декабря 2005 г. МИНИСТЕРСТВО ЮСТИЦИИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ от 1 декабря […]
      • Статья 1237 часть 2 отсутствие осаго Статья 1237 часть 2 отсутствие осаго Автострахование Жилищные споры Земельные споры Административное право Участие в долевом строительстве Семейные споры Гражданское право, ГК РФ Защита прав потребителей Трудовые споры, пенсии Главная Статья 12.37 КоАП […]
      • Характеристики признаков налога Характеристики основных элементов налога согласно НК РФ Отправить на почту Элементы налога — юридическая категория, определяемая на уровне ключевых российских НПА, которые регулируют сферу налогообложения. Рассмотрим специфику соответствующих правовых норм подробнее. НК РФ как основной […]
      • Протокол возврата Протокол возврата Автострахование Жилищные споры Земельные споры Административное право Участие в долевом строительстве Семейные споры Гражданское право, ГК РФ Защита прав потребителей Трудовые споры, пенсии Главная Статьи и комментарии ПЦ "Логос" […]
      • Повышение пенсии для пенсионеров в 2014 году Повышение пенсий в 2018 году: самые свежие новости для работающих и неработающих пенсионеров С 1 января 2018 года началась поэтапная индексация пенсий. Изменения коснулись трудовых пенсий неработающих пенсионеров, а также социальных и страховых пенсий. В этом году пенсии проиндексировали […]
      • Оформить кредит в европа кредит банке Кредиты Кредит Европа Банка Потребительские кредиты Автокредиты Сумма от 100 000 до 2 500 000 Срок от 12 мес. до 84 мес. Время рассмотрения до 24 часов Подтверждение дохода Не требуется Сумма от 300 000 до 6 000 000 Срок от 24 мес. до 84 мес. Кредитные карты до 250 000 […]
      • Заявление 1п образец Заявление о выдаче или замене паспорта по форме 1П В случае необходимости получения удостоверения личности требуется заявление о выдаче паспорта. В каких случаях подается Заявление заполняет собственноручно лицо, обратившиеся за выдачей паспорта. Аккуратно печатным шрифтом ( черными […]
      • Заключение курсовой по налогам Налоги. Налогообложение Качественные, выполненные на заказ курсовые работы по дисциплине «Налоги. Налогообложение». СОДЕРЖАНИЕ Введение 1 Состав затрат на производство (оказание услуг) в бухгалтерском учете 2 Состав затрат на производство (оказание услуг) по налоговому учету 3 […]