Примера на законы умножения

admin

Законы умножения

Переместительный закон умножения

Если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Это можно легко проверить при подсчёте двумя способами числа звёздочек представленных на рисунке:

3 + 3 + 3 + 3 = 4 + 4 + 4

Так как множимое и множитель можно менять местами их ещё называют сомножителями или просто множителями.

Таким образом, для любых натуральных чисел a и b верно равенство:

выражающее переместительный закон умножения:

От перестановки сомножителей произведение не меняется.

Сочетательный закон умножения

Произведение чисел 3, 2 и 4 не изменится, если из них какие-нибудь два числа заменить их произведением:

3 · 2 · 4 = 3 · (2 · 4) = 3 · 8 = 24

3 · 2 · 4 = (3 · 2) · 4 = 6 · 4 = 24

Таким образом, для любых натуральных чисел a, b и c верно равенство:

выражающее сочетательный закон умножения:

Произведение не изменится, если какую-либо группу сомножителей заменить их произведением.

Распределительный закон умножения

Для любых натуральных чисел верны равенства:

выражающие распределительный закон умножения:

Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на число и полученные произведения сложить.

Распределительный закон умножения можно легко проверить при подсчёте двумя способами числа звёздочек, представленных на рисунке:

Первый: в каждом ряду расположено 3 жёлтых и 5 зелёных звёздочек, то есть всего в каждом ряду (3 + 5) звёздочек. В четырёх рядах всего (3 + 5) · 4 звёздочек.

Второй: жёлтые звёздочки расположены в четыре ряда по 3 звёздочки в каждом, то есть всего жёлтых звёздочек 3 · 4, а зелёных – 5 · 4. Всего звёздочек 3 · 4 + 5 · 4.

Кроме того, для любых натуральных чисел (если уменьшаемое больше или равно вычитаемому) верны равенства:

Например, 6 · (4 — 2) = 6 · 4 — 6 · 2.

Переход от умножения:

соответственно к сложению и вычитанию:

называется раскрытием скобок.

Переход от сложения и вычитания:

называется вынесением общего множителя за скобки.

naobumium.info

Законы математики

В нашей жизни есть законы, которые надо соблюдать. Соблюдение законов гарантирует стабильность и гармоничное развитие. Несоблюдение же законов приводит к печальным последствиям.

У математики есть свои законы, которые тоже надо соблюдать. Несоблюдение законов математики в лучшем случае приводит к тому, что оценка учащегося снижается, а в худшем случае приводит к тому, что падают самолеты, зависают компьютеры, крыши домов улетают от сильного ветра, качество связи снижается, кто-то голодает, а кто-то жирует.

Законы математики состоят из простых свойств. Эти свойства возможно вам уже знакомы. Но не мешает вспомнить их еще раз, а лучше всего записать или выучить наизусть.

В данном уроке мы рассмотрим лишь малую часть законов математики. Их нам будет достаточно для дальнейшего изучения математики.

Переместительный закон сложения

Переместительный закон сложения говорит о том, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется. Действительно, прибавьте пятерку к двойке — получите семёрку. И наоборот, прибавьте двойку к пятерке — опять получите семёрку:

Если положить на одну чашу весов 10 килограмм яблок и на другую чашу так же положить 10 килограмм яблок, то весы выровняться, и не важно, что яблоки в пакетах лежат вразброс. Если мы возьмём пакет с весов и перемешаем яблоки находящиеся в нем, словно шары в лотерейном мешке, пакет всё так же будет весить 10 килограмм. От перестановки мест слагаемых сумма не изменится. Слагаемые в данном случае это яблоки, а сумма это итоговый вес.

Таким образом, между выражениями 5 +2 и 2 + 5 можно поставить знак равенства. Это будет означать, что их сумма будет равна

Полагаем что, вы изучили один из предыдущих уроков, который назывался выражения, поэтому мы без тени смущения запишем переместительный закон сложения с помощью переменных:

Записанное переместительное свойство сложения будет работать для любых чисел. Например, возьмем два любых числа пусть а=2 , b=3 . Мы присвоили переменным a и b значения 2 и 3 соответственно. Эти значения отправятся в главное выражение a+b=b+a и подставятся куда нужно. Число 2 подставится вместо а , число 3 место b

Сочетательный закон сложения

Сочетательный закон сложения говорит о том, что результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий. Этот закон позволяет группировать слагаемые для удобства вычислений.

Рассмотрим сумму из трех слагаемых:

Чтобы вычислить данное выражение, можно сначала сложить числа 2 и 3 и полученный результат сложить с числом 5. Для наглядности сумму чисел 2 и 3 можно заключить в скобки, чтобы указать, что эта сумма будет вычислена в первую очередь:

2 + 3 + 5 = (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10

Либо сначала сложить числа 3 и 5 и сложить полученный результат с числом 2

2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10

Таким образом, между выражениями (2 + 3) + 5 и 2 + (3 + 5) можно поставить знак равенства, поскольку их значения равны:

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

Запишем сочетательный закон сложения с помощью переменных:

(a + b) + c = a + (b + c)

Переместительный закон умножения говорит о том, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Давайте проверим так ли это. Умножим пятерку на двойку, а затем наоборот двойку на пятерку.

В обоих случаях получается один и тот же результат, поэтому между выражениями 5 × 2 и 2 × 5 можно поставить знак равенства, поскольку их значения равны:

5 × 2 = 2 × 5

Запишем переместительное свойство умножения с помощью переменных:

Для записи законов в качестве переменных необязательно использовать именно буквы a и b . Можно использовать любые другие буквы, например c и d или x и y . Тот же переместительный закон умножения можно записать следующим образом:

Сочетательный закон умножения говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.

Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Сначала можно перемножить числа 2 и 3, и полученный результат умножить на 4:

Либо сначала можно перемножить числа 3 и 4, и полученный результат перемножить с числом 2

Таким образом, мы можем записать, что выражение (2 × 3) × 4 равно выражению 2 × (3 × 4) , поскольку их значения равны:

Пример 2. Найти значение выражения 1 × 2 × 3 × 4

Распределительный закон умножения

Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число или число на сумму.

Рассмотрим следующее выражение:

Мы знаем, что сначала надо выполнить действие в скобках. Выполняем:

В главном выражении (3+5)×2 выражение в скобках заменим на полученную восьмёрку:

8 × 2 = 16

Получили ответ 16. Этот же пример можно решить с помощью распределительного закона умножения. Для этого каждое слагаемое, которое в скобках, нужно умножить на 2, затем сложить полученные результаты:

Мы рассмотрели распределительный закон умножения слишком развёрнуто и подробно. В школе этот пример записали бы очень коротко. К такой записи тоже надо привыкать. Выглядит она следующим образом:

(3 + 5) × 2 = 3 × 2 + 5 × 2 = 6 + 10 = 16

Теперь запишем распределительное свойство умножения с помощью переменных:

(a + b) × c = a × c + b × c

Из переместительного закона умножения мы узнали, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. В распределительном законе умножения (a+b)×c=a×c+b×c роль множимого играет выражение (a+b) , а роль множителя переменная c . Если поменять местами множимое и множитель, то получим выражение c×(a+b) . Это умножение переменной c на сумму (a+b) . Для выполнения такого умножения, нужно применить распределительный закон умножения, то есть умножить переменную c на каждое слагаемое в скобках:

c × (a + b) = c × a + c × b

Пример 2. Найти значение выражения 5 × (3 + 2)

Умножим число 5 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим:

5 × (3 + 2) = 5 × 3 + 5 × 2 = 15 + 10 = 25

Пример 3. Найти значение выражения 6 × (5 + 2)

Умножим число 6 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим:

spacemath.xyz

Умножение и его свойства

Определение. Умножение — это действие в результате которого находят сумму одинаковых слагаемых. Умножить число а на число Ь означает найти сумму Ь слагаемых, каждое из которых равно а.

Числа, которые перемножаются, называются множителями (или сомножителями), а результат умножения — произведением .

При умножении натуральных чисел произведение всегда число положительное. Если один из множителей равен 0 (нулю), то произведение равно 0. Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен 0.

Если один из двух множителей равен 1 (единице), То произведение равно второму множителю.

  • 5 * 6 * 8 * 0 = 0
  • 132 * 1 = 132
  • Сочетательный закон

    Правило. Чтобы произведение двух множителей умножить на третий множитель, можно первый множитель умножить на произведение второго и третьего множителей.

  • (7 * 6) * 5 = 7 * (6 * 5) = 210
  • (a * b) * c = a * (b * c)
  • Переместительный закон

    Правило. От перестановки множителей произведение не изменяется.

    • 7 * 6 * 5 = 5 * 6 * 7 = 210
    • а * Ь * с = с * Ь * а

    Распределительным закон

    Правило. Чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое из слагаемых и полученные произведения сложить.

  • 7 * (6 + 5) = 7 * 6 + 7 * 5 = 77
  • a * (b + c) = ab + ac
  • Распределительный закон распространяется и на действие вычитания.

  • 7 * (6 — 5) = 7 * 6 — 7 * 5 = 7
  • Законы умножении распространяются на любое количество множителей в числовом или буквенном выражении. Распределительный закон умножения используется для вынесения общего множителя за скобки.

    Правило. Чтобы преобразовать сумму (разность) в произведение, достаточно вынести за скобки одинаковый множитель слагаемых, а оставшиеся множители записать в скобках суммой (разностью).

  • Например:
  • 7 * 8 — 7 * 5 = 7 * (8 — 5)
  • аЬ + ас = а * (Ь + с)
  • Вынесение множителя за скобки для больших числовых или буквенных выражений можно производить по группам слагаемых.

    shkolo.ru

    Для рациональных чисел остаются справедливыми те же законы умножения, которые были приведены в § 5 для положительных чисел.

    1. Переместительный закон.

    Для любых рациональных чисел a и b справедливо равенство:

    Это следует из определения умножения рациональных чисел. В самом деле, мы берем произведение абсолютных величин сомножителей, а оно не зависит от порядка, в котором берем эти абсолютные величины.

    Знак произведения тоже определяем независимо от того, в каком порядке следовали сомножители. Мы смотрим только, одинаковые ли знаки у обоих сомножителей или различные.

    Переместительный закон справедлив для произведения любого числа сомножителей. Так, например, перемножая числа –2, 3, 5 и –8 в любом порядке, мы получим одно и то же число 240. В самом деле, в каком бы порядке мы ни перемножали абсолютные величины сомножителей, получим одно и то же число 2 * 3 * 5 * 8 = 240. Знак произведения получим, подсчитав количество отрицательных сомножителей независимо от порядка, в каком они расположены. В нашем примере число 240 следует взять со знаком +, так как в произведении содержится два отрицательных сомножителя.

    2. Сочетательный закон.

    При умножении любых рациональных чисел остается в силе сочетательный закон умножения.

    Для любых трех рациональных чисел a, b и с справедливо равенство:

    В самом деле, в выражении a(bc) мы должны абсолютную величину a умножить на произведение абсолютных величин b и c , в выражении (ab)c мы должны произведение абсолютных величин a и b умножить на абсолютную величину c . Но абсолютные величины — это неотрицательные числа (то есть положительные или равные нулю), а для таких чисел сочетательный закон верен.

    Значит, абсолютная величина обеих частей равенства одна и та же. Легко также убедиться, что и знак обоих произведений будет один и тот же, каковы бы ни были знаки чисел a, b и с (оба произведения положительны, если среди чисел a, b и с нет отрицательных или два из них отрицательны; оба произведения отрицательны, если одно из этих чисел или все три отрицательны; оба произведения равны нулю, если хотя бы одно из чисел a, b или c равно нулю).

    Таким же образом можно убедиться в справедливости сочетательного закона для произведения любого числа сомножителей.

    Пример . Это произведение нетрудно вычислить, перемножив сначала второй и третий сомножители: 3. Распределительный закон.

    Для любых рациональных чисел a, b и с справедливо равенство:

    Убедимся в этом на примерах.

    1) [2 + (–3)] * 4 = 2 * 4 + (–3) * 4.

    [2 + (–3)] * 4 = (–1) * 4 = –4;
    2 * 4 + (–3) * 4 = 8 – 12 = –4.

    2) [(–3) + 5] * (–6) = (–3) * (–6) + 5 * (–6).

    [(–3) + 5] * (–6) = 2 * (–6) = –12;
    (–3) * (–6) + 5 * (–6) = 18 – 30 = –12.

    Распределительный закон имеет место при умножении на какой-либо множитель суммы любого числа слагаемых.

    Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

    Пользуясь переместительным законом умножения, в последнем примере можно переставить сомножители, тогда получим следующее:

    Чтобы умножить какое-либо число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

    Отметим следующие два свойства умножения:

    1. Умножение произведения.
    Чтобы умножить произведение нескольких чисел на число, можно умножить на это число один из сомножителей, оставив остальные без изменения.

    [4 * (–3) * 5] * (–2) = (–60) * (–2) = 120
    и
    [4 * (–2)] * (–3) * 5 = (–8) * (–3) * 5 = 120.

    2. Умножение на произведение.

    Чтобы умножить число на произведение нескольких чисел, можно умножить это число на первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и так далее до конца.

    4 * [5 * (–2) * 3] = 4 * (–30) = –120
    и
    (4 * 5) * (–2) * 3 = 20 * (–2) * 3 = (–40) * 3 = –120.

    Эти последние свойства вытекают из законов умножения

    mthm.ru

    Математика – 2 класс. Умножение

    Задачи на тему: «Умножение чисел. Таблица умножения»

    Дополнительные материалы
    Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

    Умножение чисел

    1. Посмотри на рисунки и составь примеры на сложение и умножение.

    а)

    б)

    2. Замени сложение умножением и реши примеры.

    3. По рисунку составь текстовую задачу, которая решается умножением.

    Решение задач

    1. Митя живет в семиэтажном доме. Высота каждого этажа равна трем метрам. Определи высоту дома, в котором живет Митя, в метрах.

    2. Рабочие поставили 6 столбов для забора. Расстояние между столбами равно четырем метрам. Какова длина забора?

    3. В одной упаковке находится 8 носовых платков. Сколько всего носовых платков в семи упаковках?

    4. В оздоровительный лагерь приехало 9 легковых машин. В каждой машине находилось по 4 ребенка. Сколько всего детей привезли в лагерь?

    5. В саду растут кусты малины. Они посажены в 8 рядов по 5 кустов в каждом ряду. Сколько кустов малины растет в саду?

    6. В школьной столовой стоит 8 столов. Вокруг каждого стола расставлено по 54 стула. Сколько всего стульев находится в столовой?

    7. На автомобильной парковке в 8 рядов стоят легковые автомобили. Сколько всего автомобилей на парковке, если в один ряд помещается 7 машин?

    8. По площади марширует колонна солдат. Колонна состоит из девяти рядов по восемь солдат в каждом ряду. Сколько всего солдат в колонне?

    9. У Коли есть 7 подшивок журнала «Мурзилка». В каждой подшивке по 6 журналов. Сколько журналов «Мурзилка» у Коли?

    10. 7 лет Паша собирает черепашек-нинзя. Каждый год он собирает по 5 коллекций. Сколько всего коллекций у Паши?

    11. Папа принес с рынка 4 пакета с яблоками, в каждой пакете находится 11 яблок. Сколько всего яблок принёс папа?

    mathematics-tests.com

    Это интересно:

    • Заявление для санитарно-эпидемиологического заключения образец Роспотребнадзор по городу Москве опубликовал образец заявления и требования для получения санэпидзаключения для лицензирования фармацевтической деятельности и деятельности в области использования источников ионизирующего излучения На сайте Роспотребнадзора сообщается: Обращаем Ваше […]
    • Ивановский арбитражный областной суд Арбитражный суд Ивановской области Внимание! Конкурс. Арбитражный суд Ивановской области ведет прием на государственную должность федеральной государственной службы «Специалист 1 разряда» на условиях срочного служебного контракта. Требования к претендентам на замещение должности […]
    • Дубненского городского суда Дубненский городской суд Московской области Адрес: 141980, Московская область, г. Дубна, ул. Курчатова, д.28 Проезд: от железнодорожного вокзала, а также от автовокзала на маршрутном такси №9, 12, автобус №11 до остановка «Ул. Ленинградская». Состав суда: Председатель Давидовская Елена […]
    • Правила приёма в стационар Министерство здравоохранения Республики Башкортостан ГБУЗ «Республиканская детская клиническая больница» Правила приема в стационар ДЦПНиЭ Телефон приемного покоя: 282-25-20 Порядок госпитализации и перечень документов необходимых для госпитализации пациента в Детский центр […]
    • Пребывание значительной части народа вне страны своего происхождения Пребывание значительной части народа вне страны своего происхождения Тема 1: Политическая карта мира. Историко – географические регионы. Вариант 1 1. Наука о территориальной дифференциации политических явлений и процессов: A) Социальная география. B) Политическая география. C) […]
    • Подоходный налог удерживается с больничного листа НДФЛ с больничного листа Актуально на: 24 января 2018 г. Если ваш работник заболел, то за период временной нетрудоспособности вы должны выплатить ему пособие на основании представленного им больничного листа (ст. 183 ТК РФ, п. 1 ч. 1 ст. 2, ч. 1 ст. 13 Закона от 29.12.2006 № 255-ФЗ ). В […]
    • Международное экономическое право учебное пособие Турченко о.Г. Международное право учебное пособие Материалы утверждены на заседании кафедры конституционного и международного права Протокол №1 от 21 сентября 2014г. Донецьк 2014 Турченко О.Г. Международное право: Учебное пособие (для студентов специальности "Правоведение" заочной, […]
    • Штраф как вид наказания дипломная работа Штраф как вид уголовного наказания 1. Конституция РФ от 12 декабря 1993 г.//Российская газета. 1993. 25 декабря. N 237.2. Уголовный кодекс РФ от 13 июня 1996 г. N 63-ФЗ//СЗ РФ. 1996. N 25. Ст. 2954.3. Уголовно-процессуальный кодекс РФ от 18 декабря 2001 г. N 174-ФЗ//СЗ РФ. 2001. N 52.Ст. […]