Десятичные дроби сложение правило

admin

Умножение и деление десятичных дробей

20 августа 2011

На прошлом уроке мы научились складывать и вычитать десятичные дроби (см. урок «Сложение и вычитание десятичных дробей»). Заодно оценили, насколько упрощаются вычисления по сравнению с обычными «двухэтажными» дробями.

К сожалению, с умножением и делением десятичных дробей подобного эффекта не возникает. В некоторых случаях десятичная запись числа даже усложняет эти операции.

Для начала введем новое определение. Мы будем встречаться с ним довольно часто, и не только на этом уроке.

Значащая часть числа — это все, что находится между первой и последней ненулевой цифрой, включая концы. Речь идет только о цифрах, десятичная точка не учитывается.

Цифры, входящие в значащую часть числа, называются значащими цифрами . Они могут повторяться и даже быть равными нулю.

Например, рассмотрим несколько десятичных дробей и выпишем соответствующие им значащие части:

  • 91,25 → 9125 (значащие цифры: 9; 1; 2; 5);
  • 0,008241 → 8241 (значащие цифры: 8; 2; 4; 1);
  • 15,0075 → 150075 (значащие цифры: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
  • 0,0304 → 304 (значащие цифры: 3; 0; 4);
  • 3000 → 3 (значащая цифра всего одна: 3).
  • Обратите внимание: нули, стоящие внутри значащей части числа, никуда не деваются. Мы уже сталкивались с чем-то подобным, когда учились переводить десятичные дроби в обычные (см. урок «Десятичные дроби»).

    Этот момент настолько важен, а ошибки здесь допускают так часто, что в ближайшее время я опубликую тест на эту тему. Обязательно потренируйтесь! А мы, вооружившись понятием значащей части, приступим, собственно, к теме урока.

    Умножение десятичных дробей

    Операция умножения состоит из трех последовательных шагов:

  • Для каждой дроби выписать значащую часть. Получатся два обычных целых числа — без всяких знаменателей и десятичных точек;
  • Умножить эти числа любым удобным способом. Напрямую, если числа невелики, или столбиком. Получим значащую часть искомой дроби;
  • Выяснить, куда и на сколько разрядов сдвигается десятичная точка в исходных дробях для получения соответствующей значащей части. Выполнить обратные сдвиги для значащей части, полученной на предыдущем шаге.
  • Еще раз напомню, что нули, стоящие по бокам от значащей части, никогда не учитываются. Игнорирование этого правила приводит к ошибкам.

    Работаем с первым выражением: 0,28 · 12,5.

  • Выпишем значащие части для чисел из этого выражения: 28 и 125;
  • Их произведение: 28 · 125 = 3500;
  • В первом множителе десятичная точка сдвинута на 2 цифры вправо (0,28 → 28), а во второй — еще на 1 цифру. Итого нужен сдвиг влево на три цифры: 3500 → 3,500 = 3,5.
  • Теперь разберемся с выражением 6,3 · 1,08.

  • Выпишем значащие части: 63 и 108;
  • Их произведение: 63 · 108 = 6804;
  • Снова два сдвига вправо: на 2 и 1 цифру соответственно. Всего — снова 3 цифры вправо, поэтому обратный сдвиг будет на 3 цифры влево: 6804 → 6,804. В этот раз нулей на конце нет.
  • Добрались до третьего выражения: 132,5 · 0,0034.

  • Значащие части: 1325 и 34;
  • Их произведение: 1325 · 34 = 45 050;
  • В первой дроби десятичная точка уходит вправо на 1 цифру, а во второй — на целых 4. Итого: 5 вправо. Выполняем сдвиг на 5 влево: 45 050 → ,45050 = 0,4505. В конце убрали ноль, а спереди — дописали, чтобы не оставлять «голую» десятичную точку.
  • Следующее выражение: 0,0108 · 1600,5.

  • Пишем значащие части: 108 и 16 005;
  • Умножаем их: 108 · 16 005 = 1 728 540;
  • Считаем цифры после десятичной точки: в первом числе их 4, во втором — 1. Всего — снова 5. Имеем: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. В конце убрали «лишний» ноль.
  • Наконец, последнее выражение: 5,25 · 10 000.

  • Значащие части: 525 и 1;
  • Умножаем их: 525 · 1 = 525;
  • В первой дроби выполнен сдвиг на 2 цифры вправо, а во второй — на 4 цифры влево (10 000 → 1,0000 = 1). Итого 4 − 2 = 2 цифры влево. Выполняем обратный сдвиг на 2 цифры вправо: 525, → 52 500 (пришлось дописать нули).
  • Обратите внимание на последний пример: поскольку десятичная точка перемещается в разных направлениях, суммарный сдвиг находится через разность. Это очень важный момент! Вот еще пример:

    Рассмотрим числа 1,5 и 12 500. Имеем: 1,5 → 15 (сдвиг на 1 вправо); 12 500 → 125 (сдвиг на 2 влево). Мы «шагаем» на 1 разряд вправо, а затем — на 2 влево. В итоге, мы шагнули на 2 − 1 = 1 разряд влево.

    Деление десятичных дробей

    Деление — это, пожалуй, самая сложная операция. Конечно, здесь можно действовать по аналогии с умножением: делить значащие части, а затем «двигать» десятичную точку. Но в этом случае возникает много тонкостей, которые сводят на нет потенциальную экономию.

    Поэтому давайте рассмотрим универсальный алгоритм, который чуть-чуть длиннее, но намного надежнее:

    1. Перевести все десятичные дроби в обычные. Если немного потренироваться, на этот шаг у вас будут уходить считанные секунды;
    2. Разделить полученные дроби классическим способом. Другими словами, умножить первую дробь на «перевернутую» вторую (см. урок «Умножение и деление числовых дробей»);
    3. Если возможно, результат снова представить в виде десятичной дроби. Этот шаг тоже выполняется быстро, поскольку зачастую в знаменателе уже стоит степень десятки.
    4. Задача. Найдите значение выражения:

      Считаем первое выражение. Для начала переведем оби дроби в десятичные:

      Аналогично поступим со вторым выражением. Числитель первой дроби снова разложится на множители:

      В третьем и четвертом примерах есть важный момент: после избавления от десятичной записи возникают сократимые дроби. Однако мы не будем выполнять это сокращение.

      Последний пример интересен тем, что в числителе второй дроби стоит простое число. Здесь просто нечего разлагать на множители, поэтому считаем «напролом»:

      Иногда в результате деления получается целое число (это я про последний пример). В таком случае третий шаг вообще не выполняется.

      Кроме того, при делении часто возникают «некрасивые» дроби, которые нельзя перевести в десятичные. Этим деление отличается от умножения, где результаты всегда представимы в десятичной форме. Разумеется, в таком случае последний шаг опять же не выполняется.

      Обратите также внимание на 3-й и 4-й примеры. В них мы намеренно не сокращаем обычные дроби, полученные из десятичных. Иначе это усложнит обратную задачу — представление конечного ответа снова в десятичном виде.

      Запомните: основное свойство дроби (как и любое другое правило в математике) само по себе еще не означает, что его надо применять везде и всегда, при каждом удобном случае.

      www.berdov.com

      Вычитание десятичных дробей

      Как и сложение, вычитание десятичных дробей зависит от правильной записи чисел.

      Правило вычитания десятичных дробей

      1) ЗАПЯТАЯ ПОД ЗАПЯТОЙ!

      Эта часть правила самая важная. При вычитании десятичных дробей их следует записать так, чтобы запятые уменьшаемого и вычитаемого находились строго одна под другой.

      2) Уравниваем количество цифр после запятой. Для этого в том числе, где количество цифр после запятой меньше, дописываем после запятой в конце нули.

      3) Вычитаем числа, не обращая внимания на запятую.

      4) Сносим запятую под запятыми.

      Примеры на вычитание десятичных дробей .

      1) 9,7-3,5

      Чтобы найти разность десятичных дробей 9,7 и 3,5, запишем их так, чтобы запятые в обоих числах находились строго одна под другой. Затем вычитаем, не обращая внимания на запятую. В полученном результате запятую сносим, то есть записываем под запятыми уменьшаемого и вычитаемого:

      2) 23,45 — 1,5

      Чтобы из одной десятичной дроби вычесть другую, надо записать их так, чтобы запятые располагались точно одна под другой. Так как у 23,45 после запятой две цифры, а у 1,5 — только одна, дописываем в 1,5 нуль. После этого ведем вычитания, не обращая внимания на запятую. В результат сносим запятую под запятыми:

      3) 63,5-8,921

      Вычитание десятичных дробей начинаем с их записи так, чтобы запятые были расположены ровно одна под одной. В первом числе после запятой одна цифра, во втором — три, поэтому на место недостающих двух цифр в первом числе записываем нули. Затем вычитаем числа, не обращая внимания на запятую. В полученном результате сносим запятую под запятыми:


      4) 2,8703 — 0,507

      Чтобы вычесть эти десятичные дроби, записываем их так, чтобы запятая второго числа расположилась точно под запятой первого. В первом числе после запятой четыре цифры, во втором — три, поэтому второе число дополняем после запятой нулем в конце. После этого вычитаем эти числа, как обычные натуральные, не учитывая запятую. В полученном результате записываем запятую под запятыми :

      2,8703 — 0,507 = 2,3663.

      5) 35,46 — 7,372

      Вычитание десятичных дробей начинаем с записи чисел таким образом, чтобы запятые находились одна под другой. Дополняем нулем после запятой первое число, чтобы в обоих дробях после запятой было по три цифры. Затем вычитаем, не обращая внимания на запятую. В ответе сносим запятую под запятыми:

      35,46 — 7,372 = 28,088.

      6) 45 — 7,303

      Чтобы из натурального числа вычесть десятичную дробь, в его записи в конце ставим запятую и приписываем необходимое количество нулей после запятой. Зачем вычитаем, не беря во внимание запятую. В ответ сносим запятую ровно под запятыми:

      45 — 7,303 = 37,698.

      7) 17,256 — 4,756

      Этот пример на вычитание десятичных дробей выполняем аналогично. В результате получили число с нулями после запятой в конце. Их в ответе не пишем: 17,256 — 4,756 =12,5.

      www.for6cl.uznateshe.ru

      Сложение десятичных дробей

      Чтобы научиться правильно выполнять сложение десятичных дробей, достаточно выучить правило, состоящее всего из трех слов.

      Три слова такие: ЗАПЯТАЯ ПОД ЗАПЯТОЙ. Это самое важное, что следует помнить при сложении десятичных дробей. Складывая десятичные дроби, мы записываем их так, чтобы запятые в слагаемых находились строго одна под другой. Если после запятой в одном слагаемом цифр меньше, чем в другом, можно недостающие цифры дополнить нулями (а можно и не делать этого). В остальном сложение десятичных дробей практически ничем не отличается от сложения натуральных чисел — темы, которую проходили еще в начальной школе.

      Рассмотрим на примерах, как происходит сложение десятичных дробей.

      Чтобы сложить 5,7 и 6,8, записываем их запятая под запятой. Затем складываем цифры по разрядам и в полученном ответе сносим запятую все по тому же правилу — запятая под запятой.

      При сложении 2,256 и 0,74 числа записываем так, чтобы запятая находилась под запятой. Поскольку во втором числе после запятой два знака, а в первом — три, недостающий один знак в конце второго числа дополняем нулем (но его можно и не писать). После этого складываем числа, не обращая внимания на запятую (то есть к 2256 прибавляем 740). В результате сносим запятую (ровно под запятой слагаемых).

      4,98+52,462=?

      Как обычно, сложение десятичных дробей начинаем с их записи таким образом, чтобы запятая стояла точно под запятой. Первым удобнее записать число, у которого количество цифр после запятой больше. Чтобы уравнять количество знаков после запятой в обоих слагаемых, во втором третьей цифрой после запятой записываем нуль. Складываем 52462 и 4980, не обращая внимания на запятую. В ответе сносим запятую под запятой.

      Чтобы сложить десятичные дроби, записываем их «запятая под запятой». Складываем 4821 и 3179, не обращая внимания на запятую. После этого сносим запятую под запятой. Поскольку в десятичной дроби после запятой нули на конце не пишут, окончательный ответ 8.

      Чтобы к натуральному числу прибавить десятичную дробь, можно в записи натурального числа в конце приписать запятую и столько нулей, сколько нужно (в данном примере — три). Затем складываем 35000 и 3146 и сносим запятую.

      Сложение начинаем с записи десятичных дробей по правилу «запятая под запятой». Затем недостающий знак после запятой у числа 8,3 дополняем нулем. Складываем 374 и 830. В ответ сносим запятую под запятой.

      Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей

      Сложение и вычитание десятичных дробей аналогично сложению и вычитанию натуральных чисел, но с определенными условиями.

      Правило. Сложение и вычитание десятичных дробей производится по разрядам целой и дробной части как натуральных чисел.

      При письменном сложении и вычитании десятичных дробей запятая, отделяющая целую часть от дробной, должна находиться у слагаемых и суммы или у уменьшаемого, вычитаемого и разности в одном столбце (запятая под запятой от записи условия до конца вычисления).

      Сложение и вычитание десятичных дробей в строку:

      243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

      843,217 — 700,628 = (800 — 700) + 40 + 3 + (0,2 — 0,6) + (0,01 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 — 0,6) + (0,01 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

      Сложение и вычитание десятичных дробей в столбик:

      Сложение десятичных дробей требует верхней дополнительной строки для записи чисел, когда сумма разряда переходит через десяток. Вычитание десятичных дробей требует верхней дополнительной строки для того, чтобы отметить разряд, в котором одалживается 1.

      Если справа от слагаемого или уменьшаемого не хватает разрядов дробной части, то справа в дробной части можно дописывать столько нулей (увеличивать разрядность дробной части), сколько разрядов в другом слагаемом или уменьшаемом.

      Умножение десятичных дробей производится так же, как и умножение натуральных чисел, по тем же правилам, но в произведении ставится запятая по сумме разрядов множителей в дробной части, считая справа налево (сумма разрядов множителей — это количество разрядов после запятой у множителей, вместе взятых).

      При умножении десятичных дробей в столбик первая справа значащая цифра подписывается под первой справа значащей цифрой, как и в натуральных числах:

      Запись умножения десятичных дробей в столбик:

      Запись деления десятичных дробей в столбик:

      Подчеркнутые знаки — это знаки, за которые переносится запятая, потому что делитель должен быть целым числом.

      Правило. При делении дробей делитель десятичной дроби увеличивается на столько разрядов, сколько разрядов в дробной его части. Чтобы дробь не изменилась, на столько же разрядов увеличивается и делимое (в делимом и делителе запятая переносится на одно и то же число знаков). Запятая ставится в частном на том этапе деления, когда целая часть дроби разделена.

      Для десятичных дробей, как и для натуральных чисел, сохраняется правило: на ноль десятичную дробь делить нельзя!

      shkolo.ru

      Урок математики в 5-м классе по теме: «Сравнение, сложение, вычитание и округление десятичных дробей»

      Разделы: Математика

      Цели:

      • Повторить, обобщить, правило сравнения, сложения, вычитания и округления десятичных дробей.
      • Проверить уровень знаний по теме десятичных дробей.
      • Провести контроль усвоения учащимися в виде тестирования.
      • Девиз “Знания имей отличные по теме дроби десятичные”.
      • Оборудование:

        • компьютеры с сетевым подключением,
        • плакат,
        • учебник.

        Виды работ:

        • творческая работа в программе “Microsoft PowerPoint”;
        • тестирование;
        • тестирование в программе “Школьный наставник”.
        • Ход урока

          1. Организационный момент. Сообщение темы и целей урока.

          2. Творческая работа в программе “Microsoft PowerPoint”

          • Минуту учащиеся повторяют теоретический материал.
          • После повторения отвечают на вопросы:
          • Какая дробь называется десятичной?
          • Как сравнивать десятичные дроби?
          • Расскажите правило сложения десятичных дробей?
          • Расскажите правило вычитания десятичных дробей?
          • Расскажите правило округления десятичных дробей?
          • 3. Работаем устно

            Найдите верный ответ.

            Помоги клоуну правильно расставить запятые, чтобы получить верные равенства.

            Поставьте вместо * знак неравенства или равенства и объясните, почему поставили такой знак.

            Округлите десятичные дроби.

            125,37 до единиц

            8491,53 до тысяч

            2,385 до десятых

            213,58 до десятков

            145,5697 до тысячных?

            4. Проверьте, правильно ли решил задачу мумитроль :

            xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

            Это интересно:

            • Международное экономическое право учебное пособие Турченко о.Г. Международное право учебное пособие Материалы утверждены на заседании кафедры конституционного и международного права Протокол №1 от 21 сентября 2014г. Донецьк 2014 Турченко О.Г. Международное право: Учебное пособие (для студентов специальности "Правоведение" заочной, […]
            • Уголовное кодекс прочитать Уголовно-исполнительный кодекс Украины На этой странице вы можете скачать, загрузить и прочитать Уголовно-исполнительный кодекс Украины. Загрузить Уголовно-исполнительный кодекс Украины. Ознакомиться с содержанием кодекса можно на этой странице ниже. Уголовно-исполнительный кодекс […]
            • Досрочное прекращение полномочий иоГлавы § 4. Досрочное прекращение полномочий главы муниципального образования Полномочия главы муниципального образования прекращаются досрочно в случае: 1) смерти; 2) отставки по собственному желанию; 3) отрешения от должности в соответствии со ст. 74 Федерального закона "Об общих принципах […]
            • Реестр платежных поручений в 1с 77 Реестр платежных поручений в 1с 77 Администратор Группа: Главные администраторы Сообщений: 14349 Регистрация: 12.10.2007 Из: Twilight Zone Пользователь №: 1 Коллекция обработок для 1С 7.7. Самые необходимые обработки Номер Наименование Описание Файл 1 АКТСПИС230.ert 2 Акт сверки […]
            • Экспертиза на чехова симферополь Судебная экспертиза СУДЕБНАЯ СТРОИТЕЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ ЭКСПЕРТИЗА:1.Раздел жилых и нежилых помещений;2.Раздел земельных участков, определение порядка пользования;3.Расчет ущерба от затопления, пожара и т.д.;4.Установление соответствия/несоответствия объекта строительным нормам и […]
            • Приказ минтруда 215н от 24052013 Приказ 215 от 24052013 Приказ Минтруда России от 09.04.2018 N 215 «О внесении изменений в некоторые выпуски Единого тарифно-квалификационного справочника работ и профессий рабочих» О ВНЕСЕНИИ ИЗМЕНЕНИЙ В НЕКОТОРЫЕ ВЫПУСКИ ЕДИНОГО ТАРИФНО-КВАЛИФИКАЦИОННОГО Внести изменения в выпуски […]
            • Воронежская межтерриториальная коллегия адвокатов Боброва Надежда Владимировна Наименование подразделения: Адвокатская консультация Центрального района г. Воронежа Адрес: 394006, г. Воронеж, ул. Плехановская, 22 «а» Регистрационный номер в Реестре адвокатов Воронежской области 36/1703 Окончила юридический факультет Воронежского […]
            • Когда повышается тарифы осаго Новые тарифы ОСАГО в 2018 году: ждать ли повышения? Если у вас было ДТП М 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 год 2 года 3 года 4 года 5 лет 6 лет 7 лет 8 лет 9 лет 10 лет и более Текущий класс (КБМ) М класс 0 класс 1 класс 2 класс 3 класс 4 класс 5 класс 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс […]