Вычисление предела по правилу лопиталя примеры

admin

Правило Лопиталя

Введите функцию и точку для предела, которому надо применить правило Лопиталя

Вычислим предел функции с помощью правила Лопиталя. Вы введёте функцию, для которой требуется вычислить предел и точку в которой предел должен сходиться.

    • 0
    • 1
      • +oo
      • (x^2-1)/(2*x^2-x-1)
        • ((1+x)*(1+2*x)*(1+3*x)-1)/x
          • ((1+x)^5-(1+5*x))/(x^2+x^5)
            • (x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)/(5*x-1)^5
              • ( cos(x*e^x) — cos(x*e^(-x)) )/x^3
                • ( sinh(x) )^2 / ln( cosh(3*x) )
                • Правила ввода выражений и функций

                  Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

                  absolute(x) Абсолютное значение x
                  (модуль x или |x|) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция — арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x e e число, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция — экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
                  (Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) pi Число — «Пи», которое примерно равно 3.14 sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция — Квадрат x tg(x) Функция — Тангенс от x tgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция — кубический корень из x floor(x) Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) sign(x) Функция — Знак x erf(x) Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)

                  В выражениях можно применять следующие операции:

                  Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5 2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание

                  www.kontrolnaya-rabota.ru

                  Теория пределов. Методика вычисления

                  Теория пределов — один из разделов математического анализа, который одним под силу освоить, другие с трудом вычисляют пределы. Вопрос нахождения пределов является достаточно общим, поскольку существуют десятки приемов решения пределов различных видов. Одни и те же предела можно найти как по правилу Лопиталя, так и без него. Бывает, что расписание в ряд бесконечно малых функций позволяет быстро получить нужный результат. Существуют набор приемов и хитростей, позволяющих найти предел функции любой сложности. В данной статье попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике. Теорию и определение предела мы здесь давать не будем, в интернете множество ресурсов где это разжевано. Поэтому займемся практическим вычислениям, именно здесь у Вас и начинается «не знаю! Не умею! Нас не учили!»

                  Вычисление пределов методом подстановки

                  Пример 1. Найти предел функции
                  Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).

                  Решение: Такого сорта примеры по теории вычисляют обычной подстановкой

                  Предел равен 18/11.
                  Ничего сложного и мудрого в таких пределах нет — подставили значение, вычислили, записали предел в ответ. Однако на базе таких пределов всех приучают, что прежде всего нужно подставить значение в функцию. Далее пределы усложняют, вводят понятие бесконечности, неопределенности и тому подобные.

                  Предел с неопределенностью типа бесконечность разделить на бесконечность. Методы раскрытия неопределенности

                  Пример 2. Найти предел функции
                  Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=infinity).
                  Решение: Задан предел вида полином разделить на полином, причем переменная стремится к бесконечности

                  Простая подстановка значения к которому следует переменная найти пределов не поможет, получаем неопределенность вида бесконечность разделить на бесконечность.
                  Пот теории пределов алгоритм вычисления предела заключается в нахождении наибольшего степени «икс» в числителе или знаменателе. Далее на него упрощают числитель и знаменатель и находят предел функции

                  Поскольку значение стремятся к нулю при переменной к бесконечности то ими пренебрегают, или записывают в конечный выражение в виде нулей

                  Сразу из практики можно получить два вывода которые являются подсказкой в вычислениях. Если переменная стремится к бесконечности и степень числителя больше от степени знаменателя то предел равен бесконечности. В противном случае, если полином в знаменателе старшего порядка чем в числителе предел равен нулю.
                  Формулами предел можно записать так

                  Если имеем функцию вида обычный поленом без дробей то ее предел равен бесконечности

                  Следующий тип пределов касается поведения функций возле нуля.

                  Пример 3. Найти предел функции
                  Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
                  Решение: Здесь уже выносить старший множитель полинома не требуется. С точностью до наоборот, необходимо найти наименьший степень числителя и знаменателя и вычислить предел

                  Значение x^2; x стремятся к нулю когда переменная стремится к нулю Поэтому ими пренебрегают, таким образом получим

                  что предел равен 2,5.

                  Теперь Вы знаете как найти предел функции вида полином разделить на полином если переменная стремится к бесконечности или 0. Но это лишь небольшая и легкая часть примеров. Из следующего материала Вы научитесь как раскрывать неопределенности пределов функции.

                  Предел с неопределенностью типа 0/0 и методы его вычислений

                  Сразу все вспоминают правило согласно которому делить на ноль нельзя. Однако теория пределов в этом контексте подразумеваем бесконечно малые функции.
                  Рассмотрим для наглядности несколько примеров.

                  Пример 4. Найти предел функции
                  Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
                  Решение: При подстановке в знаменатель значения переменной x = -1 получим ноль, то же самое получим в числителе. Итак имеем неопределенность вида 0/0.
                  Бороться с такой неопределенностью просто: нужно разложить полином на множители, а точнее выделить множитель, который превращает функцию в ноль.

                  После разложения предел функции можно записать в виде

                  Вот и вся методика вычисления предела функции. Так же поступаем если есть предел вида многочлен разделить на многочлен.

                  Пример 5. Найти предел функции
                  Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
                  Решение: Прямая подстановка показывает
                  2*4-7*2+6=0;
                  3*4-2-10=0
                  что имеем неопределенность типа 0/0 .
                  Разделим полиномы на множитель которій вносит особенность


                  Есть преподаватели которые учат, что полиномы 2 порядка то есть вида «квадратные уравнения» следует решать через дискриминант. Но реальная практика показывает что это дольше и запутаннее, поэтому избавляйтесь особенности в пределах по указанному алгоритму. Таким образом записываем функцию в виде простых множителей и вічисляем в предел

                  Как видите, ничего сложного в исчислении таких пределов нет. Делить многочлены Вы на момент изучения пределов умеете, по крайней мере согласно программе должны уже пройти.
                  Среди задач на неопределенность типа 0/0 встречаются такие в которых нужно применять формулы сокращенного умножения. Но если Вы их не знаете, то делением многочлена на одночлен можно получить нужную формулу.

                  Пример 6. Найти предел функции
                  Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
                  Решение: Имеем неопределенность типа 0/0 . В числителе применяем формулу сокращенного умножения

                  и вычисляем нужній предел

                  Метод раскрытия неопределенности умножением на сопряженное

                  Метод применяют к пределам в которіхнеопределенность порождают иррациональные функции. Числитель или знаменатель превращается в точке вычисления в ноль и неизвестно как найти границу.

                  Пример 7. Найти предел функции
                  Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
                  Решение:
                  Представим переменную в формулу предела

                  При подстановки получим неопределенность типа 0/0.
                  Согласно теории пределов схема обхода данной особенности заключается в умножении иррационального выражения на сопряженное. Чтобы выражение не изменилось знаменатель нужно разделить на такое же значение

                  По правилу разности квадратов упрощаем числитель и вычисляем предел функции

                  Упрощаем слагаемые, создающие особенность в пределе и выполняем подстановку

                  Пример 8. Найти предел функции
                  Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
                  Решение: Прямая подстановка показывает что предел имеет особенность вида 0/0.

                  Для раскрытия умножаем и делим на сопряженное к числителю

                  Записываем разницу квадратов


                  Упрощаем слагаемые которые вносят особенность и находим предел функции

                  Пример 9. Найти предел функции
                  Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
                  Решение: Подставим двойку в формулу

                  Получим неопределенность 0/0 .
                  Знаменатель нужно умножить на сопряженный выражение, а в числителе решить квадратное уравнение или разложить на множители, учитывая особенность. Поскольку известно, что 2 является корнем, то второй корень находим по теореме Виета

                  Таким образом числитель запишем в виде

                  и подставим в предел

                  Сведя разницу квадратов избавляемся особенности в числителе и знаменателе

                  Приведенным образом можно избавиться особенности во многих примерах, а применение надо замечать везде где заданная разница корней превращается в ноль при подстановке. Другие типы пределов касаются показательных функций, бесконечно малых функций, логарифмов, особых пределов и других методик. Но об этом Вы сможете прочитать в перечисленных ниже статьях о пределах.

                  Вычисления пределов в Мейпл

                  Данный материал полезен прежде всего для студентов. Возможно в программе обучения, а некоторые для себя изучает математические программы для облегчения обучения и проверки решений. Это могут быть математические пакеты MathСad, Мathematica, Maple. Вычисления пределов в Мейпл достаточно просто организовать даже новичку. Все что нужно — правильно ввести функцию предел которой находим.

                  Предел первой функции из тех которые рассматривали в Мейпл иметь следующую запись. Жмем конце «Enter» и получим конечное значение пределов
                  > limit((x^2+3*x)/(2*x+5),x=3);
                  18/11

                  Предел второй функции получим из записи

                  Третий пример примет следующий вид:

                  Мэйпл без проблем находит первый замечательный предел

                  и второй замечательный предел

                  Фрагмент вычисления пределов в математическом пакете Мэйпл приведен ниже

                  С Мейплом Вы без труда найдете предел логарифма, тригонометрических, экспоненциальных и других функций.

                  yukhym.com

                  Предел функции, правило Лопиталя

                  Применение правила Лопиталя необходимо для вычисления пределов при получении неопределенностей вида » open=» 0 0 и » open=» ∞ ∞ .

                  Имеются неопределенности вида » open=» 0 · ∞ и » open=» ∞ — ∞ .

                  Самой важной частью правила Лопиталя является дифференцирование функции и нахождение ее производной.

                  Когда lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) = » open=» 0 0 или » open=» ∞ ∞ и функции f ( x ) , g ( x ) являются дифференцируемыми в пределах точки х 0 , тогда lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) = lim x → x 0 f ‘ ( x ) g ‘ ( x ) .

                  Если неопределенность нерешаема после применения правила Лопиталя, тогда необходимо снова его применить. Для полного понятия рассмотрим несколько примеров.

                  Произвести вычисления, применив правило Лопиталя lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) x · cos ( x ) .

                  Для решения по правилу Лопиталя для начала необходимо произвести подстановку. Получаем, что lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) x · cos ( x ) = sin 2 ( 3 · 0 ) 0 · cos ( 0 ) = » open=» 0 0 .

                  Теперь можно переходить к вычислению пределов, используя правило. Получаем, что

                  lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) x · cos ( x ) = » open=» 0 0 = lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) ‘ x · cos ( x ) ‘ = lim x → 0 2 sin ( 3 x ) ( sin ( 3 x ) ) ‘ x ‘ · cos ( x ) + x · ( cos ( x ) ) ‘ = = lim x → 0 6 sin ( 3 x ) cos ( 3 x ) cos ( x ) — x · sin ( x ) = 6 sin ( 3 · 0 ) cos ( 3 · 0 ) cos ( 0 ) — 0 · sin ( 0 ) = 0 1 = 0

                  Ответ: lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) x · cos ( x ) = 0 .

                  Вычислить предел заданной функции lim x → ∞ ln ( x ) x .

                  Производим постановку бесконечностью. Получаем, что

                  lim x → ∞ ln ( x ) x = ln ( ∞ ) ∞ = » open=» ∞ ∞

                  Полученная неопределенность указывает на то, что необходимо применить правило Лопиталя. Имеем, что

                  lim x → ∞ ln ( x ) x = » open=» ∞ ∞ = lim x → ∞ ln ( x ) ‘ x ‘ = lim x → ∞ 1 x 1 = 1 ∞ = 0

                  Ответ: lim x → ∞ ln ( x ) x = 0

                  Вычислить предел заданной функции lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) )

                  Производим подстановку значения x . получаем, что

                  lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) ) = ( 0 + 0 ) 4 · ln ( 0 + 0 ) = » open=» 0 · ( — ∞ )

                  Решение привело к неопределенности вида ноль умноженный на отрицательную бесконечность. Это указывает на то, что необходимо обратиться к таблице неопределенностей и принять решения для выбора метода нахождения этого предела. После преобразования применяем правило Лопиталя. Получаем, что

                  lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) ) = » open=» 0 · ( — ∞ ) = lim x → 0 + 0 ln ( x ) x — 4 = ln ( 0 + 0 ) ( 0 + 0 ) — 4 = » open=» — ∞ + ∞

                  Приход к неопределенности говорит о том, что необходимо повторное применение этого правила. Имеем, что

                  lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) ) = » open=» 0 · ( — ∞ ) = lim x → 0 + 0 ln ( x ) x — 4 = » open=» — ∞ + ∞ = = lim x → 0 + 0 ( ln ( x ) ) ‘ ( x — 4 ) ‘ = lim x → 0 + 0 1 x — 4 — 5 = — 1 4 lim x → 0 + 0 1 x — 4 = — 1 4 · 1 ( 0 + 0 ) — 4 = = — 1 4 · ( 0 + 0 ) 4 = 0

                  Ответ: lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) ) = 0

                  Выполнить вычисление предела функции lim x → 0 c t g 2 ( x ) — 1 x 2 .

                  После подстановки получаем

                  lim x → 0 c t g 2 ( x ) — 1 x 2 = » open=» ∞ — ∞

                  Наличие неопределенности указывает на то, что следует использовать правило Лопиталя. Получаем, что

                  lim x → 0 c t g 2 ( x ) — 1 x 2 = » open=» ∞ — ∞ = lim x → 0 cos 2 ( x ) sin 2 ( x ) — 1 x 2 = = lim x → 0 x 2 cos 2 ( x ) — sin 2 ( x ) x 2 sin 2 ( x ) = lim x → 0 x cos x — sin x x cos x + sin x x 2 sin 2 ( x ) = = lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) x cos x + sin x x = lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) cos x + sin x x = = lim x → 0 cos x + sin x x lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) = 2 lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) = = 2 0 · cos ( 0 ) — sin ( 0 ) 0 · sin 2 ( 0 ) = » open=» 0 0

                  Для последнего перехода использовался первый замечательный предел. После чего приходим к решению по Лопиталю. Получим, что

                  2 lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) = » open=» 0 0 = 2 lim x → 0 ( x cos x — sin x ) ‘ ( x sin 2 ( x ) ) ‘ = = 2 lim x → 0 cos x — x sin x — cos x sin 2 ( x ) + 2 x sin x cos x = 2 lim x → 0 — x sin ( x ) + 2 x cos x = » open=» 0 0

                  Так как неопределенность не ушла, необходимо еще одно применение правила Лопиталя. Получаем предел вида

                  2 lim x → 0 — x sin ( x ) + 2 x cos x = » open=» 0 0 = 2 lim x → 0 — x ‘ sin ( x ) + 2 x cos x ‘ = = 2 lim x → 0 1 cos x + 2 cos x — 2 x sin x = — 2 · 1 3 · cos ( 0 ) — 2 · 0 · sin ( 0 ) = — 2 3

                  Ответ: lim x → 0 c t g 2 ( x ) — 1 x 2 = — 2 3

                  www.zaochnik.com

                  Как решать пределы для чайников: примеры решений

                  Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что «скучная теория» должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.

                  Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.

                  Примеры решений

                  Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило.

                  Внимание «чайникам» 🙂 Чтобы вычислить предел любого типа и вида нужно подставить значение x, указанное под пределом, в функцию, стоящую под знаком предела. Давайте попробуем это сделать:

                  Как видим в итоге у нас вычислился предел, результатом стала двойка. Хорошо, когда так получается, но бывает так, что результатом становятся неопределенности. Попробуем разобраться с ними — это не так страшно как кажется 🙂

                  Что делать с неопределенностью вида:

                  Как всегда начинаем с подстановки значения в выражение, стоящее под знаком предела.

                  Что теперь дальше? Что же должно получиться в итоге? Так как это неопределенность, то это ещё не ответ и продолжаем вычисление. Так как в числители у нас многочлен, то разложим его на множители, помощью знакомой всем формулы ещё со школьной скамьи . Вспомнили? Отлично! Теперь вперед и с песней применять её 🙂

                  Получаем, что числитель

                  Продолжаем решать учитывая вышеприведенное преобразование:

                  Бесконечность получилась в результате — это следует из примера 1. Когда число делится на 0 под знаком предела, то получается бесконечность.

                  Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность:

                  Что же делать? Как быть? Не стоит паниковать, потому что невозможное — возможно. Нужно вынести за скобки и в числителе и в знаменателе икс, а потом его сократить. После этого предел попытаться вычислить. Пробуем.

                  Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем:

                  Чтобы устранить такую неопределенность нужно вынести за скобки икс в числителе и в знаменателе, далее их сократить. В полученное выражение подставить икс равное бесконечности. Пробуем.

                  Алгоритм вычисления лимитов

                  1. Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: «ноль делить на ноль» или «бесконечность делить на бесконечность» и переходим к следующим пунктам инструкции.
                  2. Чтобы устранить неопределенность «ноль делить на ноль» нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
                  3. Если неопределенность «бесконечность делить на бесконечность», тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.

                  В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.

                  Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!

                  xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai

                  Правило Лопиталя для чайников: определение, примеры решения, формулы

                  Мы уже начали разбираться с пределами и их решением. Продолжим по горячим следам и разберемся с решением пределов по правилу Лопиталя. Этому простому правилу по силам помочь Вам выбраться из коварных и сложных ловушек, которые преподаватели так любят использовать в примерах на контрольных по высшей математике и матанализу. Решение правилом Лопиталя – простое и быстрое. Главное – уметь дифференцировать.

                  Правило Лопиталя: история и определение

                  На самом деле это не совсем правило Лопиталя, а правило Лопиталя-Бернулли. Сформулировал его швейцарский математик Иоганн Бернулли, а француз Гийом Лопиталь впервые опубликовал в своем учебнике бесконечно малых в славном 1696 году. Представляете, как людям приходилось решать пределы с раскрытием неопределенностей до того, как это случилось? Мы – нет.

                  Кстати, о том, какой вклад внес в науку сын Иоганна Бернулли, читайте в статье про течение жидкостей и уравнение Бернулли.

                  Прежде чем приступать к разбору правила Лопиталя, рекомендуем прочитать вводную статью про пределы в математике и методы их решений. Часто в заданиях встречается формулировка: найти предел, не используя правило Лопиталя. О приемах, которые помогут Вам в этом, также читайте в нашей статье.

                  Если имеешь дело с пределами дроби двух функций, будь готов: скоро встретишься с неопределенностью вида 0/0 или бесконечность/бесконечность. Как это понимать? В числителе и знаменателе выражения стремятся к нулю или бесконечности. Что делать с таким пределом, на первый взгляд – совершенно непонятно. Однако если применить правило Лопиталя и немного подумать, все становится на свои места.

                  Но сформулируем правило Лопиталя-Бернулли. Если быть совершенно точными, оно выражается теоремой. Правило Лопиталя, определение:

                  Если две функции дифференцируемы в окрестности точки x=a обращаются в нуль в этой точке, и существует предел отношения производных этих функций, то при х стремящемся к а существует предел отношения самих функций, равный пределу отношения производных.

                  Запишем формулу, и все сразу станет проще. Правило Лопиталя, формула:

                  Так как нас интересует практическая сторона вопроса, не будем приводить здесь доказательство этой теоремы. Вам придется или поверить нам на слово, или найти его в любом учебнике по математическому анализу и убедится, что теорема верна.

                  Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

                  Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

                  В раскрытии каких неопределенностей может помочь правило Лопиталя? Ранее мы говорили в основном о неопределенности 0/0. Однако это далеко не единственная неопределенность, с которой можно встретиться. Вот другие виды неопределенностей:

                  Рассмотрим преобразования, с помощью которых можно привести эти неопределенности к виду 0/0 или бесконечность/бесконечность. После преобразования можно будет применять правило Лопиталя-Бернулли и щелкать примеры как орешки.

                  Неопределенность вида бесконечность/бесконечность сводится к неопределенность вида 0/0 простым преобразованием:

                  Пусть есть произведение двух функций, одна из которых первая стремиться к нулю, а вторая – к бесконечности. Применяем преобразование, и произведение нуля и бесконечности превращается в неопределенность 0/0:

                  Для нахождения пределов с неопределенностями типа бесконечность минус бесконечность используем следующее преобразование, приводящее к неопределенности 0/0:

                  Для того чтобы пользоваться правилом Лопиталя, нужно уметь брать производные. Приведем ниже таблицу производных элементарных функций, которой Вы сможете пользоваться при решении примеров, а также правила вычисления производных сложных функций:

                  Теперь перейдем к примерам.

                  Найти предел по правилу Лопиталя:

                  Вычислить с использованием правила Лопиталя:

                  Важный момент! Если предел вторых и последующих производных функций существует при х стремящемся к а, то правило Лопиталя можно применять несколько раз.

                  Найдем предел (n – натуральное число). Для этого применим правило Лопиталя n раз:

                  Желаем удачи в освоении математического анализа. А если Вам понадобится найти предел используя правило Лопиталя, написать реферат по правилу Лопиталя, вычислить корни дифференциального уравнения или даже рассчитать тензор инерции тела, обращайтесь к нашим авторам. Они с радостью помогут разобраться в тонкостях решения.

                  Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

                  zaochnik.ru

                  Это интересно:

                  • Суды города тобольска Тобольский городской судТюменской области С 8 :00 до 17 :15 Перерыв на обед С 12 :00 до 13 :00 Состав мировых судей г.Тобольска Бондаренко Ольга Анатольевна Попова Наталья Олеговна Жукова Виктория Сергеевна Шишкин Андрей Николаевич Зайцева Надежда Владимировна Гл.специалист (помощник […]
                  • Возврат товара при быстрой покупке В какие сроки возможен возврат товара Совершив неудачную покупку, многие задумываются о возможности соблюдения срока возврата товара. Условия возврата приобретения и сроки устанавливаются законом о защите прав потребителей (далее – Закон). Здесь учтены интересы обеих сторон, покупателя и […]
                  • Пенсии в калининграде в 2018 Пенсионное обеспечение для жителей Калининграда и Калининградской области в 2018 году Уровень жизни россиян отличается в зависимости от региона проживания. Субъекты Федерации по-разному подходят к организации экономического развития, да и условия у них неодинаковы. Государство взяло на […]
                  • 15 этаж ликвидации в варфейс Прохождение 15 этажа на Ликвидации Авторизуйтесь для ответа в теме #1 Новичок 67 сообщений Время онлайн: 1d 21h 34m 54s 15 спасибо Страна: Действительно, 15 этаж на Ликвидации в Warface достаточно сложный и пройти его очень тяжело, но все таки возможно. […]
                  • Округление с недостатком правило Тест к уроку «Округление с избытком и недостатком» (1 вариант) 23 сентября 2011 Материалы к уроку Скачать тест Ответы к тесту Задачи на округление по избытку и недостатку — одни из самых распространенных в ЕГЭ по математике. Они идут под номером B2. Предлагаю вашему вниманию […]
                  • Ликвидация тактика 15 15 этаж "Ликвидации" - проходим в лифте. Авторизуйтесь для ответа в теме #1 Администратор 160 сообщений Время онлайн: 13d 5h 34m 51s 41 спасибо Страна: Есть еще один способ прохождения прохождения 15-го этажа в режиме "Ликвидация" и по мне он гораздо […]
                  • Шарыпово адвокаты Юристы в Назарово Расстояние от центра: 1.9 км. ✉ Адрес Красноярский край, Назаровский р-н, Назарово, ул. Карла Маркса, 32, оф.13 +7 (39155) 5-62-89 ⌚ Часы работы пн-пт 09:00-18:00 Расстояние от центра: 0.6 км. -1 ✉ Адрес г. Назарово ул. Школьная 5А и Школьная 3 […]
                  • Нотариус в плесецке Нотариальные услуги в Плесецке Расстояние от центра: 0.6 км. 0 ✉ Адрес Архангельская обл., Плесецкий р-н, Плесецк пос., ул. Ленина, 29 ☎ Телефон +7 (81832) 7-14-59 ⌚ Часы работы пн-чт 09:00-17:00, перерыв 13:00-14:00; пт 09:00-13:00 Расстояние от центра: 5.6 км. -3 ✉ […]