Закон относительного движения

admin

Лекции и примеры решения задач механики

Определение закона относительного движения

Тело D вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω. По цилиндрическому каналу движется шарик M (рисунок 8.1).

Определить закон относительного движения шарика x = x(t). Найти также координату x и давление шарика на стенку канала в момент времени t = τ, если α = 45°, ω = 10 с -1 ; m = 0,01 кг; τ = 0,2 c; x0 = 0; V0 отн= 0; r = 0,2 м.

Свяжем подвижную систему отсчета Oxyz с вращающимся каналом, совместив ось x с траекторией относительного движения шарика M.

Вращение этой системы относительно оси АВ является переносным движением для шарика M. Движение шарика вдоль канала будет относительным.

К шарику приложены: вес G и нормальная реакция стенки канала, которую разложим на две составляющие N1 и N2. Присоединим к силам, действующим на шарик, кориолисову силу инерции Фкор и переносную силу инерции Ф n пер.

Поскольку вращение происходит с постоянной угловой скоростью, переносное ускорение точки M имеет только нормальную составляющую. Соответственно переносная сила инерции будет иметь одну составляющую, направленную от оси AB.

В литературе ее называют центробежной силой инерции. Направление ускорения Кориолиса найдем по правилу Жуковского (рисунок 8.1), полагая, что шарик движется от точки O.

Модули сил инерции определяются по формулам

Основное уравнение относительного движения, в данном случае, имеет вид

Проецируя это уравнение на подвижные оси координат, получим

Подставляя значение Ф n пер в первое уравнение системы (8.1), получим

Последнее уравнение представим в виде

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Общее решение полученного уравнения имеет вид

где x* – общее решение однородного уравнения
d 2 x/dt 2 — x∙ω 2 ∙sin 2 α = 0;
x**
– частное решение уравнения (8.2).

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

Таким образом, общее решение однородного уравнения

Частное решение уравнения (8.2) находим в виде

Подставляя в (8.2), получаем

Общее решение дифференциального уравнения (8.2) получает вид

Постоянные C1 и C2 определяем из начальных условий:

Тогда при t = 0 получим

Уравнение относительного движения принимает вид

Из второго и третьего уравнений системы (8.1) определим реакцию стенок канала в момент времени t = 0,2 с

Из этих уравнений найдем

Для определения числовых значений реакции необходимо найти значения координаты x и относительной скорости при t = 0,2 с.

Подставляя t = 0,2 с в (8.3) и (8.4), получим

Следовательно, составляющие реакции N1 и N2 будут равны

isopromat.ru

Сложное движение точки. Пример решения задачи

Теория, применяемая для решения приведенной ниже задачи, излагается на странице “Сложное движение точки, теорема Кориолиса”.

Условие задачи

Прямоугольная пластина вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = 6 t 2 – 3 t 3 . Положительное направление отсчета угла φ показано на рисунках дуговой стрелкой. Ось вращения OO 1 лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).

По пластине вдоль прямой BD движется точка M . Задан закон ее относительного движения, т. е. зависимость s = AM = 40( t – 2 t 3 ) – 40 ( s — в сантиметрах, t — в секундах). Расстояние b = 20 см . На рисунке точка M показана в положении, при котором s = AM > 0 (при s 2 – 3 t 3 , s = |AM| = 40( t – 2 t 3 ) – 40 , t 1 = 1 c .

Определение положения точки

Определяем положение точки в момент времени t = t 1 = 1 c .
s = 40( t 1 – 2 t 1 3 ) – 40 = 40(1 – 2·1 3 ) – 40 = –80 см.
Поскольку s , то вектор угловой скорости направлен в сторону положительного угла поворота φ , то есть от точки O к точке O1. Модуль угловой скорости:
ω = 3 с -1 .
Изображаем вектор угловой скорости пластины на рисунке.

Из точки M опустим перпендикуляр HM на ось OO1.
При переносном движении точка M движется по окружности радиуса |HM| с центром в точке H .
|HM| = |HK| + |KM| = 3 b + |AM| sin 30° = 60 + 80·0,5 = 100 см ;
Переносная скорость:
vпер = ω|HM| = 3·100 = 300 см/с .

Вектор направлен по касательной к окружности в сторону вращения.

Определение абсолютной скорости точки

Определяем абсолютную скорость . Абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.
Проводим оси неподвижной системы координат Oxyz . Ось z направим вдоль оси вращения пластины. Пусть в рассматриваемый момент времени ось x перпендикулярна пластине, ось y лежит в плоскости пластины. Тогда вектор относительной скорости лежит в плоскости yz . Вектор переносной скорости направлен противоположно оси x . Поскольку вектор перпендикулярен вектору , то по теореме Пифагора, модуль абсолютной скорости:
.

Определение абсолютного ускорения точки

Согласно теореме о сложении ускорений (теорема Кориолиса), абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:
,
где
– кориолисово ускорение.

Определение относительного ускорения

Определяем относительное ускорение . Для этого считаем, что пластина неподвижна, а точка M совершает заданное движение. То есть точка M движется по прямой BD . Дважды дифференцируя s по времени t , находим проекцию ускорения на направление BD :
.
В момент времени t = t 1 = 1 с ,
см/с 2 .
Поскольку , то вектор направлен в направлении, противоположном BD . То есть от точки M к точке B . Модуль относительного ускорения
aот = 480 см/с 2 .
Изображаем вектор на рисунке.

Определение переносного ускорения

Определяем переносное ускорение . При переносном движении точка M жестко связана с пластиной, то есть движется по окружности радиуса |HM| с центром в точке H . Разложим переносное ускорение на касательное к окружности и нормальное ускорения:
.
Дважды дифференцируя φ по времени t , находим проекцию углового ускорения пластины на ось OO 1 :
.
В момент времени t = t 1 = 1 с ,
с –2 .
Поскольку , то вектор углового ускорения направлен в сторону, противоположную положительного угла поворота φ , то есть от точки O1 к точке O. Модуль углового ускорения:
ε = 6 с -2 .
Изображаем вектор углового ускорения пластины на рисунке.

Переносное касательное ускорение:
a τ пер = ε |HM| = 6·100 = 600 см/с 2 .
Вектор направлен по касательной к окружности. Поскольку вектор углового ускорения направлен в сторону, противоположную положительного угла поворота φ , то направлен в сторону, противоположную положительному направлению поворота φ . То есть направлен в сторону оси x .

Переносное нормальное ускорение:
a n пер = ω 2 |HM| = 3 2 ·100 = 900 см/с 2 .
Вектор направлен к центру окружности. То есть в сторону, противоположную оси y .

Определение кориолисова ускорения

Кориолисово (поворотное) ускорение:
.
Вектор угловой скорости направлен вдоль оси z . Вектор относительной скорости направлен вдоль прямой |DB| . Угол между этими векторами равен 150° . По свойству векторного произведения,
.
Направление вектора определяется по правилу буравчика. Если ручку буравчика повернуть из положения в положение , то винт буравчика переместится в направлении, противоположном оси x .

Определение абсолютного ускорения

Абсолютное ускорение:
.
Спроектируем это векторное уравнение на оси xyz системы координат.

.
Модуль абсолютного ускорения:

Абсолютная скорость ;
абсолютное ускорение .

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 10-01-2016

1cov-edu.ru

Относительность движения

Движение тел можно описывать в различных системах отсчета. С точки зрения кинематики все системы отсчета равноправны. Однако кинематические характеристики движения, такие как траектория, перемещение, скорость, в разных системах оказываются различными. Величины, зависящие от выбора системы отсчета, в которой производится их измерение, называют относительными.

Пусть имеются две системы отсчета. Система XOY условно считается неподвижной, а система X’O’Y’ движется поступательно по отношению к системе XOY со скоростью Система XOY может быть, например, связана с Землей, а система X’O’Y’ – с движущейся по рельсам платформой (рис. 1.2.1).

Сложение перемещений относительно разных систем отсчета

Пусть человек перешел по платформе за некоторое время из точки A в точку B. Тогда его перемещение относительно платформы соответствует вектору а перемещение платформы относительно Земли соответствует вектору Из рис. 1.2.1 видно, что перемещение человека относительно Земли будет соответствовать вектору представляющему собой сумму векторов и

В случае, когда одна из систем отсчета движется относительно другой поступательно (как на рис. 1.2.1) с постоянной скоростью это выражение принимает вид:

Если рассмотреть перемещение за малый промежуток времени Δt, то, разделив обе части этого уравнения на Δt и затем перейдя к пределу при Δt→0 получаем:

классический закон сложения скоростей:

(*)

Здесь – скорость тела в «неподвижной» системе отсчета XOY, – скорость тела в «движущейся» системе отсчета X’O’Y’. Скорости и иногда условно называют абсолютной и относительной скоростями; скорость называют переносной скоростью.

Абсолютная скорость тела равна векторной сумме его относительной скорости и переносной скорости движущейся системы отсчета.

Следует обратить внимание на вопрос об ускорениях тела в различных системах отсчета.

Из (*) следует, что при равномерном и прямолинейном движении систем отсчета друг относительно друга ускорения тела в этих двух системах одинаковы, т. е. Действительно, если – вектор, модуль и направление которого остаются неизменными во времени, то любое изменение относительной скорости тела будет совпадать с изменением его абсолютной скорости. Следовательно,

Переходя к пределу (Δt→0), получим

В общем случае, при движениях систем отсчета с ускорением друг относительно друга, ускорения тела в различных системах отсчета оказываются различными.

В случае, когда вектора относительной скорости и переносной скорости параллельны друг другу, закон сложения скоростей можно записать в скалярной форме:

В этом случае все движения происходят вдоль одной прямой линии (например, оси OX). Скорости υ, υ0 и υ нужно рассматривать как проекции абсолютной, переносной и относительной скоростей на ось OX. Они являются величинами алгебраическими и, следовательно, им нужно приписывать определенные знаки (плюс или минус) в зависимости от направления движения.

www.its-physics.org

Termeh_lk / Динамика_относительного_движения

Министерство образования Российской Федерации. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Данное пособие входит в серию электронных учебных пособий по теоретической механике, разрабатываемых на кафедре механики СамГТУ.

Пособие предназначено для самостоятельного изучения студентами темы «Динамика относительного движения материальной точки».

Зав. кафедрой – д.т.н., проф. Я.М.Клебанов, Разработчики – Л.Б.Черняховская, Л.А.Шабанов.

Переносное, относительное и абсолютное движение.

Рассмотрим движение точки М относительно двух систем отсчета, одна

из которых O 1 x 1 y 1 z 1 движется относительно другой, неподвижной,

отсчета Oxyz (рис.1).

подвижной системы отсчета O 1 x 1 y 1 z 1 .

точками пространства относительно

неподвижной системы отсчета.

движение точки по отношению x 1

к неподвижной системе отсчета O 1 x 1 y 1 z 1 .

Всем кинематическим характеристикам, относящимся к относительному движению, присваивается индекс r , кинематическим характеристикам переносного движения–индекс е.

Относительной скоростью V r называется скорость точки по отношению к подвижной системе отсчета.

Переносной скоростью V е называется скорость той точки, неизменно

связанной с подвижной системой отсчета, с которой в данный момент совпадает точка М , относительно неподвижной системы отсчета.

Абсолютная скорость V — это скорость точки относительно неподвижной системы отсчета. Аналогично определяются относительное

ускорение a r , переносное ускорение a e и абсолютное ускорение a .

Теорема о сложении скоростей. При сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.

Теорема о сложении ускорений . При сложном движении ускорение точки равно геометрической сумме переносного, относительного ускорений и ускорения Кориолиса.

a = a e + a r + a c

Полученное равенство выражает теорему Кориолиса:

Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению переносной угловой скорости и относительной скорости точки.

a c = 2 ω е × V r

Модуль ускорения Кориолиса равен

а С = 2 ω e V r sin α ,

где α — угол между векторами ω е и V r .

Направление a c определяется в соответствии с общим правилом

Ускорение Кориолиса равно нулю в следующих случаях:

1) когда ω е = 0 , т.е. когда переносное движение является

2) когда V r = 0 , т.е. в случае относительного покоя,

3) когда угол α = 0 , т.е. в тех случаях, когда вектора ω е и V r

О сновной закон относительного движения материальной точки .

Рассмотрим движение материальной точки относительно неинерциальной системы координат, т.е. относительно системы координат, движущейся произвольным образом относительно неподвижной.

В случае сложного движения точки абсолютное ускорение определяется по теореме Кориолиса:

studfiles.net

Ответы на экзаменационные билеты № 1-20 по курсу «Физика» (Механическое движение. Законы Ньютона. Нуклоны: протон и нейтрон, их массы)

Страницы работы

Содержание работы

1) Механическое движение – изменение положения тела в пространстве по отношению к другим телам с течением времени. Раздел физики, изучающий механическое движение называется механикой. Тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь называют материальной точкой.

Положение тела (м. точки) в пространстве можно определить относительно какого-либо другого тела. Тело отсчёта, связанная с ним система координат и часы составляют систему отсчета.

Характеристики механического движения тела: траектория (линия, вдоль которой движется тело), перемещение (направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением), скорость (отношение перемещения ко времени движения – для равномерного движения), ускорение (изменение скорости тела с течением времени).

Все характеристики относительного движения относительны, т.е. могут быть разными в разных системах отсчёта.

И.Ньютон – английский учёный-физик и математик, создал основу современной физики.

Открыл три закона, названные законами Ньютона.

1 закон: существуют такие системы отсчёта, относительно которых тела сохраняют свою скорость неизменной, если на них не действуют другие тела. Такие системы отсчёта получили название «инерциальные системы отсчёта» (ИСО). Этот закон часто называют законом инерции. Инерция – движение с постоянной скоростью при компенсации внешних воздействий на тело. Равномерное движение тела относительно ИСО называется движением по инерции. Существует бесконечно много ИСО, которые движется относительно друг друга с неизменными по величине и направлению скоростями.

2 закон: ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей сил, приложенных к нему и обратно пропорционально его массе. Во втором законе Ньютона, как и в первом, под телом подразумевается материальная точка (тело, размерами которого в условиях рассматриваемой задачи можно пренебречь). Движение этой материальной точки рассматривается в ИСО. Из второго закона Ньютона ясно, что a=F/m F=ma [f] = 1кг *1м/с^2 = 1Н

3 закон: силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению. Эти силы всегда действуют парами и имеют одну и ту же природу. Следует помнить, что эти силы приложены к разным телам и потому не уравновешивают друг друга.

Законы Ньютона выполняются одновременно и позволяют объяснить закономерности механического движения тел.

Импульс тела – произведение массы тела на его скорость (p = mV). Импульс тела – величина векторная.

После взаимодействия импульс каждого тела меняется, но сумма импульсов тел остаётся неизменной. Это справедливо для замкнутых систем, которым относятся группы тел, которые не взаимодействуют с другими телами, не входящими в эту группу. Отсюда вывод, т.е. закон сохранения импульсов:

Геометрическая сумма импульсов тел, составляющих замкнутую систему, остаётся постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.

Примером проявления законом сохранения импульса является реактивное движение. Оно наблюдается в природе (движение осьминога) и очень широко в технике (водомерный катер, движение ракет и маневрирование космических кораблей).

Физическая величина, равная произведению модуля силы на модуль перемещения на косинус угла между ними, называется механической работой. Работа – величина скалярная. Единица работы – джоуль (Дж). 1 Дж – работа, совершаемая силой 1 Н за перемещение 1 м.

В зависимости от направлений векторов силы и перемещения механическая работа может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Например, если векторы F и s совпадают, то cos 0 0 = 1 и A > 1. Если векторы F и s противоположно направлены, то cos 180 0 = -1 и A 0 = 0 и A = 0.

Работа – мера измерения энергии. Энергия – характеристика состояния тела.

Кинетическая энергия – энергия движущегося тела. Кинетическая энергия Eк = mV 2 /2.

Потенциальная энергия – энергия взаимодействия. Потенциальная энергия не зависит от скорости, а зависит о координаты тела (от высоты). Потенциальная энергия деформированной пружины Eп = -Kx 2 /2.

Сумму инетической и потенциальной энергии тела называют его полной механической энергией.

Полная механическая энергия замкнутой системы тел, взаимодействующих силами тяготения или упругости, остаётся неизменной при любых движениях тел системы. Это утверждение является законом сохранения механической энергии. На примере свободно падающего тела можно показать, что при его движении потенциальная энергия переходит в кинетическую. При этом потенциальная энергия уменьшается ровно на столько, на сколько увеличивается кинетическая. Полная же механическая энергия во всё время остаётся неизменной.

Механическими колебаниями называют движения тел, которые точно (или приблизительно) повторяются через равные промежутки времени. Примерами механических колебаний являются колебания математического или пружинного маятника.

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил колебательной системы, а вынужденные – под действием внешних сил не входящих в колебательную систему.

vunivere.ru

Это интересно:

  • Залог птс в тюмени Деньги под залог ПТС Вашего автомобиля в Тюмени Получите до 80% стоимости автомобиля по 4-м документам за 45 минут! Услуги автоломбарда в Тюмени Деньги под залог автомобиля Отдаем до 90% от стоимости Вашего автомобиля, авто остается на стоянке. Деньги под залог ПТС автомобиля Отдаем до […]
  • Расписка для клиентов Образец расписка в получении денежных средств от юридического лица Правила составления расписки о получении денежных средств А между тем, расписка является вполне законным документом, который имеет юридическую силу в порядке ст.808 ГК, где сказано, что договор займа в официальной форме […]
  • Пени по налогу на имущество организаций кбк 2018 КБК налог на имущество для организаций в 2018 году КБК для уплаты налога на имущество для юридических лиц и организаций: Налог на имущество организаций, не входящее в Единую систему газоснабжения 182 1 06 02010 02 1000 110 Налог на имущество организаций, входящее в Единую систему […]
  • Нотариусы прайс Нотариус Черницына Ольга Юрьевна В связи с периодическими изменениями тарифов и сумм, взыскиваемых за оказание правовой и технической работы, рекомендуем предварительно уточнять стоимость нотариального действия по указанным на сайте телефонам Размеры тарифов за совершение нотариальных […]
  • Налог на имущество физических лиц пени КБК налога на имущество в 2017-2018 годах Отправить на почту Налог на имущество - КБК 2017-2018 годов по нему остались такими же, как те, которые использовались организациями и ИП при уплате этого налога в предшествующих годах. В статье пойдет речь о том, для чего нужны КБК и как они […]
  • Реестр федеральных целевых программ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ТУРИЗМУ Министерство культуры Российской Федерации Управление внутреннего туризма и государственных целевых программ Отдел государственных целевых программ и капитальных вложений Роганова Виктория Михайловна , заместитель начальника Управления-начальник отдела […]
  • Перечень документов для ежемесячного пособия на ребенка до 15 лет Пособие по уходу за ребенком до 1.5 лет в 2018 году Пособие по уходу за ребенком до 1.5 лет в 2018 году выплачивается лицам, которые осуществляют уход за ребенком во время одноименного отпуска. Обращаем внимание, что отпуск предоставляется до достижения ребенком трех лет, а пособие […]
  • Права матерей имеющих детей до 3 лет Права матери с детьми до 3-х лет Перед работающими матерьми с детьми часто встают вопросы, на которые они не могут ответить самостоятельно без помощи юриста. Мы составили небольшую справку, отвечающую на самые распространенные вопросы. 1. Гарантии при расторжении трудового […]