Найти правило отрезки

admin

Найти правило отрезки

Даны два отрезка, каждый из которых задан двумя точками: (v11, v12), (v21, v22). Необходимо определить, пересекаются ли они, и если пересекаются, найти точку их пересечения.

Для начала необходимо определить, пересекаются ли отрезки. Необходимое и достаточное условие пересечения, которое должно быть соблюдено для обоих отрезков следующее: конечные точки одного из отрезков должны лежать в разных полуплоскостях, если разделить плоскость линией, на которой лежит второй из отрезков. Продемонстрируем это рисунком.

На левом рисунке (1) показаны два отрезка, для обоих из которых условие соблюдено, и отрезки пересекаются. На правом (2) рисунке условие соблюдено для отрезка b, но для отрезка a оно не соблюдается, соответственно отрезки не пересекаются.
Может показаться, что определить, с какой стороны от линии лежит точка — нетривиальная задача, но у страха глаза велики, и всё не так сложно. Мы знаем, что векторное умножение двух векторов даёт нам третий вектор, направление которого зависит от того, положительный или отрицательный угол между первым и вторым вектором, соответственно такая операция антикоммутативна. А так как все вектора лежат на плоскости X-Y, то их векторное произведение (которое обязано быть перпендикулярным перемножаемым векторам) будет иметь ненулевой только компоненту Z, соответственно и отличие произведений векторов будет только в этой компоненте. Причем при изменении порядка перемножения векторов (читай: угла между перемножаемыми векторами) состоять оно будет исключительно в изменении знака этой компоненты.
Поэтому мы можем умножить попарно-векторно вектор разделяющего отрезка на векторы направленные от начала разделяющего отрезка к обеим точкам проверяемого отрезка.

Если компоненты Z обоих произведений будет иметь различный знак, значит один из углов меньше 0 но больше -180, а второй больше 0 и меньше 180, соответственно точки лежат по разные стороны от прямой. Если компоненты Z обоих произведений имеют одинаковый знак, следовательно и лежат они по одну сторону от прямой.
Если один из компонент Z является нулём, значит мы имеем пограничный случай, когда точка лежит аккурат на проверяемой прямой. Оставим пользователю определять, хочет ли он считать это пересечением.
Затем нам необходимо повторить операцию для другого отрезка и прямой, и убедиться в том, что расположение его конечных точек также удовлетворяет условию.
Итак, если всё хорошо и оба отрезка удовлетворяют условию, значит пересечение существует. Давайте найдём его, и в этом нам также поможет векторное произведение.
Так как в векторном произведении мы имеем ненулевой лишь компоненту Z, то его модуль (длина вектора) будет численно равен именно этой компоненте. Давайте посмотрим, как найти точку пересечения.

Длина векторного произведения векторов a и b (как мы выяснили, численно равная его компоненте Z) равна произведению модулей этих векторов на синус угла между ними (|a| |b| sin(ab)). Соответственно, для конфигурации на рисунке мы имеем следующее: |AB x AC| = |AB||AC|sin(α), и |AB x AD| = |AB||AD| sin(β). |AC|sin(α) является перпендикуляром, опущенным из точки C на отрезок AB, а |AD|sin(β) является перпендикуляром, опущенным из точки D на отрезок AB (катетом ADD’). Так как углы γ и δ — вертикальные углы, то они равны, а значит треугольники PCC’ и PDD’ подобны, а соответственно и длины всех их сторон пропорциональны в равном отношении.
Имея Z1 (AB x AC, а значит |AB||AC|sin(α) ) и Z2 (AB x AD, а значит |AB||AD|sin(β) ), мы можем рассчитать CC’/DD’ (которая будет равна Z1/Z2), а также зная что CC’/DD’ = CP/DP легко можно высчитать местоположение точки P. Лично я делаю это следующим образом:

Px = Cx + (Dx-Cx)*|Z1|/|Z2-Z1|;
Py = Cy + (Dy-Cy)*|Z1|/|Z2-Z1|;

Вот и все. Мне кажется что это действительно очень просто, и элегантно. В заключение хочу привести код функции, реализующий данный алгоритм. В функции использован самодельный шаблон vector , который является шаблоном вектора размерностью int с компонентами типа typename. Желающие легко могут подогнать функцию к своим типам векторов.

m.habr.com

Касательная к окружности

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.

Понятие касательной к окружности и основные свойства касательной проиллюстрированы ниже на рисунке.

. Угол равен , где — центр окружности. Его сторона касается окружности. Найдите величину меньшей дуги окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол — прямой. Из треугольника получим, что угол равен градуса. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги — тоже градуса.

. Найдите угол , если его сторона касается окружности, — центр окружности, а большая дуга окружности, заключенная внутри этого угла, равна . Ответ дайте в градусах.

Это чуть более сложная задача. Центральный угол опирается на дугу , следовательно, он равен градусов. Тогда угол равен . Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, угол — прямой. Тогда угол равен .

. Хорда стягивает дугу окружности в . Найдите угол между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку . Ответ дайте в градусах.

Проведем радиус в точку касания, а также радиус . Угол равен . Треугольник — равнобедренный. Нетрудно найти, что угол равен градуса, и тогда угол равен градусов, то есть половине угловой величины дуги .

Получается, что угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

. К окружности, вписанной в треугольник , проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны , , . Найдите периметр данного треугольника.

Вспомним еще одно важное свойство касательных к окружности:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
Периметр треугольника — это сумма всех его сторон. Обратите внимание на точки на нашем чертеже, являющиеся вершинами шестиугольника. Из каждой такой точки проведены два отрезка касательных к окружности. Отметьте на чертеже такие равные отрезки. Еще лучше, если одинаковые отрезки вы будете отмечать одним цветом. Постарайтесь увидеть, как периметр треугольника складывается из периметров отсеченных треугольников.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Вот более сложная задача из вариантов ЕГЭ:

. Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна . Его периметр равен . Найдите радиус этой окружности.

Обратите внимание — в условии даже не сказано, сколько сторон у этого многоугольника. Видимо, это неважно. Пусть их будет пять, как на рисунке.
Окружность касается всех сторон многоугольника. Отметьте центр окружности — точку — и проведите перпендикулярные сторонам радиусы в точки касания.

Соедините точку с вершинами . Получились треугольники и .
Очевидно, что площадь многоугольника .
Как вы думаете, чему равны высоты всех этих треугольников и как, пользуясь этим, найти радиус окружности?

ege-study.ru

Вычисляем сумму углов и площадь параллелограмма: свойства и признаки

Как в евклидовой геометрии точка и прямая — главные элементы теории плоскостей, так и параллелограмм является одной из ключевых фигур выпуклых четырехугольников. Из него, как нитки из клубка, втекают понятия «прямоугольника», «квадрата», «ромба» и других геометрических величин.

Определение параллелограмма

Выпуклый четырехугольник, состоящий из отрезков, каждая пара из которых параллельна, известен в геометрии как параллелограмм.

Как выглядит классический параллелограмм изображает четырехугольник ABCD. Стороны называются основаниями (AB, BC, CD и AD), перпендикуляр, проведенный из любой вершины на противоположную этой вершине сторону, — высотой (BE и BF), линии AC и BD — диагоналями.

Стороны и углы: особенности соотношения

Ключевые свойства, по большому счету, предопределены самим обозначением, их доказывает теорема. Эти характеристики следующие:

  • Стороны, которые являются противоположными, — попарно одинаковые.
  • Углы, расположенные противоположно друг другу — попарно равны.
  • Доказательство: рассмотрим ∆ABC и ∆ADC, которые получаются вследствие разделения четырехугольника ABCD прямой AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, поскольку AC для них общая (вертикальные углы для BC||AD и AB||CD, соответственно). Из этого следует: ∆ABC = ∆ADC (второй признак равенства треугольников).

    Отрезки AB и BC в ∆ABC попарно соответствуют линиям CD и AD в ∆ADC, что означает их тождество: AB = CD, BC = AD. Таким образом, ∠B соответствует ∠D и они равны. Так как ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, которые так же попарно одинаковые, то ∠A = ∠C. Свойство доказано.

    Характеристики диагоналей фигуры

    Основной признак этих линий параллелограмма: точка пересечения разделяет их пополам.

    Доказательство: пусть т. Е — это точка пересечения диагоналей AC и BD фигуры ABCD. Они образуют два соизмеримых треугольника — ∆ABE и ∆CDE.

    AB=CD, так как они противоположные. Согласно правилу параллельных прямых и секущей, ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.

    По второму признаку равенства ∆ABE = ∆CDE. Это означает, что элементы ∆ABE и ∆CDE: AE = CE, BE = DE и при этом они соразмерные части AC и BD. Свойство доказано.

    Особенности смежных углов

    У смежных сторон сумма углов равна 180°, поскольку они лежат по одну сторону параллельных линий и секущей. Для четырехугольника ABCD:

    Свойства биссектрисы:

    1. биссектрисы, опущенные на одну сторону, являются перпендикулярными;
    2. противолежащие вершины имеют параллельные биссектрисы;
    3. треугольник, полученный проведением биссектрисы, будет равнобедренным.
    4. Определение характерных черт параллелограмма по теореме

      Признаки этой фигуры вытекают из ее основной теоремы, которая гласит следующее: четырехугольник считается параллелограммом в том случае, если его диагонали пересекаются, а эта точка разделяет их на равные отрезки.

      Доказательство: пусть в т. Е прямые AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются. Так как ∠AED = ∠BEC, а AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (по первому признаку равенства треугольников). То есть ∠EAD = ∠ECB. Они также являются внутренними перекрестными углами секущей AC для прямых AD и BC. Таким образом, по определению параллельности — AD || BC. Аналогичное свойство линий BC и CD выводится также. Теорема доказана.

      Вычисление площади фигуры

      Площадь этой фигуры находится несколькими методами, одним из самых простых: умножения высоты и основания, к которому она проведена.

      Доказательство: проведем перпендикуляры BE и CF из вершин B и C. ∆ABE и ∆DCF — равные, поскольку AB = CD и BE = CF. ABCD — равновеликий с прямоугольником EBCF, так как они состоят и соразмерных фигур: SABE и SEBCD, а также SDCF и SEBCD. Из этого следует, что площадь этой геометрической фигуры находится так же как и прямоугольника:

      Для определения общей формулы площади параллелограмма обозначим высоту как hb, а сторону — b. Соответственно:

      Другие способы нахождения площади

      Вычисления площади через стороны параллелограмма и угол, который они образуют, — второй известный метод.

      ,

      a и b — его стороны

      α — угол между отрезками a и b.

      Этот способ практически основывается на первом, но в случае, если высота неизвестна. Перпендикуляр всегда отрезает прямоугольный треугольник, параметры которого находятся тригонометрическими тождествами, то есть . Преобразуя соотношение, получаем . В уравнении первого способа заменяем высоту этим произведением и получаем доказательство справедливости этой формулы.

      Через диагонали параллелограмма и угол, который они создают при пересечении, также можно найти площадь.

      Доказательство: AC и BD пересекаясь, образуют четыре треугольника: ABE, BEC, CDE и AED. Их сумма равна площади этого четырехугольника.

      Площадь каждого из этих ∆ можно найти за выражением , где a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Поскольку , то в расчетах используется единое значение синуса. То есть . Поскольку AE+CE=AC= d1 и BE+DE=BD= d2, формула площади сводится до:

      .

      Применение в векторной алгебре

      Особенности составляющих частей этого четырехугольника нашли применение в векторной алгебре, а именно: сложении двух векторов. Правило параллелограмма утверждает, что если заданные векторы и не коллинеарны, то их сумма будет равна диагонали этой фигуры, основания которой соответствуют этим векторам.

      Доказательство: из произвольно выбранного начала — т. о. — строим векторы и . Далее строим параллелограмм ОАСВ, где отрезки OA и OB — стороны. Таким образом, ОС лежит на векторе или сумме .

      Формулы для вычисления параметров параллелограмма

      Тождества приведены при следующих условиях:

    5. a и b, α — стороны и угол между ними;
    6. d1 и d2 , γ — диагонали и угол в точке их пересечения;
    7. ha и hb — высоты, опущенные на стороны a и b;
    8. uchim.guru

      Длина отрезка

      Рассмотрим первый пример. Пусть в плоскости координат задан двумя точками некий отрезок. В данном случае его длину мы можем найти, применяя теорему Пифагора.

      Итак, в системе координат начертим отрезок с заданными координатами его концов (x1; y1) и (x2; y2) . На оси X и Y из концов отрезка опустим перпендикуляры. Отметим красным цветом отрезки, которые являются на оси координат проекциями от исходного отрезка. После этого перенесем параллельно к концам отрезков отрезки-проекции. Получаем треугольник (прямоугольный). Гипотенузой у данного треугольника станет сам отрезок АВ, а его катетами являются перенесенные проекции.

      Вычислим длину данных проекций. Итак, на ось Y длина проекции равна y2-y1, а на ось Х длина проекции равна x2-x1. Применим теорему Пифагора: |AB|² = (y2 — y1)² + (x2 — x1)². В данном случае |AB| является длиной отрезка.

      Если использовать данную схему для вычисления длины отрезка, то можно даже отрезок и не строить. Теперь высчитаем, какова длина отрезка с координатами (1;3) и (2;5). Применяя теорему Пифагора, получаем: |AB|² = (2 — 1)² + (5 — 3)² = 1 + 4 = 5. А это значит, что длина нашего отрезка равна 5:1/2.

      Рассмотрим следующий способ нахождения длины отрезка. Для этого нам необходимо знать координаты двух точек в какой-либо системе. Рассмотрим данный вариант, применяя двухмерную Декартову систему координат.

      Итак, в двухмерной системе координат даны координаты крайних точек отрезка. Если проведем прямые лини через эти точки, они должны быть перпендикулярными к оси координат, то получим прямоугольный треугольник. Исходный отрезок будет гипотенузой полученного треугольника. Катеты треугольника образуют отрезки, их длина равна проекции гипотенузы на оси координат. Исходя из теоремы Пифагора, делаем вывод: для того чтобы найти длину данного отрезка, нужно найти длины проекций на две оси координат.

      Найдем длины проекций (X и Y) исходного отрезка на координатные оси. Их вычислим путем нахождения разницы координат точек по отдельной оси: X = X2-X1, Y = Y2-Y1.

      Рассчитаем длину отрезка А, для этого найдем квадратный корень:

      Если наш отрезок расположен между точками, координаты которых 2;4 и 4;1, то его длина, соответственно, равна √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61.

      www.studyguide.ru

      Прямоугольник. Формулы и свойства прямоугольника

      Прямоугольники отличаются между собой только отношением длинной стороны к короткой, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90 градусов.

      Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника, а короткую — шириной прямоугольника.

      Стороны прямоугольника одновременно является его высотами.

      Основные свойства прямоугольника

      ∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

      ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

      2 d 2 = 2 a 2 + 2 b 2

      9. Диагонали прямоугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам:

      ∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

      Стороны прямоугольника

      Формулы определения длин сторон прямоугольника

      Диагональ прямоугольника

      Формулы определения длины диагонали прямоугольника

      Периметр прямоугольника

      Формулы определения длины периметру прямоугольника

      P = 2( a + √ d 2 — a 2 ) = 2( b + √ d 2 — b 2 )

      P = 2( a + √ 4R 2 — a 2 ) = 2( b + √ 4R 2 — b 2 )

      P = 2( a + √ Do 2 — a 2 ) = 2( b + √ Do 2 — b 2 )

      Площадь прямоугольника

      Формулы определения площади прямоугольника

      S = a √ d 2 — a 2 = b √ d 2 — b 2

      S = a √ 4R 2 — a 2 = b √ 4R 2 — b 2

      S = a √ Do 2 — a 2 = b √ Do 2 — b 2

      Окружность описанная вокруг прямоугольника

      Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника

      Угол между стороной и диагональю прямоугольника

      Формулы определения угла между стороной и диагональю

      Угол между диагоналями прямоугольника

      Формулы определения угла между диагоналями прямоугольника

      Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

      Добро пожаловать на OnlineMSchool.
      Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

      ru.onlinemschool.com

      Это интересно:

      • Отчёт налог на прибыль 2014 Отчет по единому налогу 06. Часто задаваемые вопросы об отчете 07. Календарь предпринимателя - сpоки отчетности, уплаты налогов 09. Разъяснения налоговиков по теме " Отчет по единому налогу ": ·01· 24.01.2017 Видeо Годовая отчетность "yпрощенцев" 1 и 2 группы: заполняем вместе. ·02· […]
      • Найти определитель по правилу треугольника Найти определитель по правилу треугольника Определитель(он же determinant(детерминант)) находится только у квадратных матриц. Определитель есть ничто иное, как значение сочетающее в себе все элементы матрицы, сохранающееся при транспонировании строк или столбцов. Обозначаться он может […]
      • Предприниматели на едином налоге 1 группа Единый налог - 1 группа Смотрите Часто задаваемые вoпросы о 1 группе 1) годовой лимит дохода - дo 300000 гривен. 2) ставка - дo 10% прожиточного минимума (тo есть в 2018 году 176,20 грн., в 2017 году 160,00 грн.), примечание: согласно Закону №1791 с 2017 года ставка 1 группы базируется […]
      • Процентная ставка налога на недвижимость 2018 Налог на недвижимость - 2018 физических и юридических лиц Сборник "Налог на недвижимость": 01. Объект налогообложения 02. Плательщики 03. База налогообложения 04. Льготы 05. Ставки налога 06. Начисление налога:06.1. Для физических лиц; 06.2. Для юридических лиц ;06.3. В […]
      • Рощина патенты иммуномодулирующее средство Изобретение относится к медицине и фармакологии. Предложено новое средство с иммуномодулирующим действием при лечении нарушений функций иммунной системы живого организма, для профилактики и лечения заболеваний, обусловленных как иммунодефицитом, так и при […]
      • Закон україни про податок на нерухоме майно Податок на нерухоме майно - 2018 Головне пpо податок на нерухоме майно: 1. Об'єкт оподаткування 2. Платники 3. База оподаткування 4. Пільги 5. Ставки податку 6. Обчислення податку:6.1. Фізичними особами. 6.2. Юридичними особами. 6.3. У разi зміни власності. 7. Сплата […]
      • Пребывание значительной части народа вне страны своего происхождения Пребывание значительной части народа вне страны своего происхождения Тема 1: Политическая карта мира. Историко – географические регионы. Вариант 1 1. Наука о территориальной дифференциации политических явлений и процессов: A) Социальная география. B) Политическая география. C) […]
      • Опека фрунзенского района минска Опека фрунзенского района минска По адресу: г. Минск, ул.Притыцкого, 78 осуществляется набор на дневные, вечерние и группы выходного дня по подготовке водителей категорий «А» и «В» . Наши контакты: +375(17) 244 17 71 - Учебная часть (запись на обучение) +375(17)236 28 98 - Зам. […]