Правило равенство треугольника

admin

Правила сложения векторов

Для того чтобы совершить операцию сложения векторов, существует несколько способов, которые, в зависимости от ситуации и типа рассматриваемых векторов, могут быть более удобны в применении. Давайте рассмотрим правила сложения векторов:

Правило треугольника

Правило треугольника заключается в следующем: для того чтобы сложить два вектора х, y нужно построить вектор х так, чтобы его начало совпадало с концом вектора у. Тогда их суммой будет являться значение вектора z, при этом начало вектора z будет совпадать с началом вектора х, а конец — с концом вектора у.

Правило треугольника помогает, в случае если количество векторов, которые необходимо просуммировать, не более двух.

Правило многоугольника

Правило многоугольника наиболее простое и удобно для сложения любого количества векторов на плоскости или в пространстве. Суть правила заключается в следующем: при сложении векторов нужно последовательно пристраивать их один за другим, так чтобы начало последующего вектора совпадало с концом предыдущего, при этом вектор, который замыкает образовавшуюся кривую, является суммой слагаемых векторов. Наглядно это отображает равенство w= x + y + z, где вектор w является суммой указанных векторов. Кроме того, необходимо отметить, что от перемены мест слагаемых векторов сумма не меняется, то есть (x +y) + z = x + (y +z).

Правило параллелограмма

Правило параллелограмма используется для сложения векторов, которые исходят из одной точки. В этом правиле говорится о том, что суммой векторов x и y, имеющих начало в одной точке, будет являться третий вектор z, исходящий также из этой точки и при этом векторы x и y являются сторонами параллелограмма, а вектор z — его диагональю. В этом случае также не имеет значения, в каком порядке будут складываться векторы.

Таким образом, правило многоугольника, правило треугольника и правило параллелограмма помогают решать задачи сложения векторов абсолютно любой сложности, как на плоскости, так и в пространстве.

elhow.ru

Первый признак равенства треугольников. Второй и третий признаки равенства треугольников

Среди огромного количества многоугольников, которые по сути являются замкнутой непересекающейся ломаной линией, треугольник – это фигура с наименьшим количеством углов. Другими словами, это простейший многоугольник. Но, несмотря на всю свою простоту, эта фигура таит в себе много загадок и интересных открытий, которые освещаются особым разделом математики – геометрией. Эту дисциплину в школах начинают преподавать с седьмого класса, и теме «Треугольник» здесь уделяется особое внимание. Дети не только узнают правила о самой фигуре, но и сравнивают их, изучая 1, 2 и 3 признак равенства треугольников.

Первое знакомство

Один из первых правил, с которым знакомятся школьники, звучит примерно так: сумма величин всех углов треугольника равняется 180 градусам. Чтобы это подтвердить, достаточно при помощи транспортира измерить каждую из вершин и сложить все получившиеся значения. Исходя из этого, при двух известных величинах легко определить третью. Например: В треугольнике один из углов равен 70°, а другой — 85°, какова величина третьего угла?

180 – 85 – 70 = 25.

Задачи могут быть и более сложными, если указано лишь одно значение угла, а про вторую величину сказано лишь, на сколько или во сколько раз она больше или меньше.

В треугольнике для определения тех или иных его особенностей могут быть проведены особые линии, каждая из которых имеет свое название:

  • высота – перпендикулярная прямая, проведенная из вершины к противоположной стороне;
  • все три высоты, проведенные одновременно, в центре фигуры пересекаются, образуя ортоцентр, который в зависимости от вида треугольника может находиться как внутри, так и снаружи;
  • медиана – линия, соединяющая вершину с серединой противолежащей стороны;
  • пересечение медиан является точкой его тяжести, находится внутри фигуры;
  • биссектриса – линия, проходящая от вершины до точки пересечения с противолежащей стороной, точка пересечения трех биссектрис является центром вписанной окружности.
  • Простые истины о треугольниках

    Треугольники, как, собственно, и все фигуры, имеют свои особенности и свойства. Как уже говорилось, эта фигура является простейшим многоугольником, но со своими характерными признаками:

  • против самой длинной стороны всегда лежит угол с большей величиной, и наоборот;
  • против равных сторон лежат равные углы, пример тому — равнобедренный треугольник;
  • сумма внутренних углов всегда равна 180°, что уже было продемонстрировано на примере;
  • при продлении одной стороны треугольника за его пределы образуется внешний угол, который всегда будет равен сумме углов, с ним не смежных;
  • любая из сторон всегда меньше суммы двух других сторон, но больше их разницы.
  • Виды треугольников

    Следующий этап знакомства заключается в определении группы, к которой относится представленный треугольник. Принадлежность к тому или иному виду зависит от величин углов треугольника.

    • Равнобедренный – с двумя равными сторонами, которые называют боковыми, третья в этом случае выступает основанием фигуры. Углы у основания такого треугольника одинаковы, а медиана, проведенная из вершины, является биссектрисой и высотой.
    • Правильный, или равносторонний треугольник, – это тот, у которого все его стороны равны.
    • Прямоугольный: один из его углов равен 90°. В этом случае сторона, противолежащая этому углу, называется гипотенузой, а две другие — катетами.
    • Остроугольный треугольник – все углы меньше 90°.
    • Тупоугольный – один из углов больше 90°.
    • Равенство и подобие треугольников

      В процессе обучения не только рассматривают отдельно взятую фигуру, но и сравнивают два треугольника. И эта, казалось бы, простая тема имеет массу правил и теорем, по которым можно доказать что рассматриваемые фигуры – равные треугольники. Признаки равенства треугольников имеют такое определение: треугольники равны, если их соответствующие стороны и углы одинаковы. При таком равенстве, если наложить эти две фигуры друг на друга, все их линии сойдутся. Также фигуры могут быть подобными, в частности, это касается практически одинаковых фигур, отличающихся лишь величиной. Для того чтобы сделать такое заключение о представленных треугольниках, необходимо соблюдение одного из следующих условий:

    • два угла одной фигуры равны двум углам другой;
    • две стороны одного пропорциональны двум сторонам второго треугольника, а величины углов, образованных сторонами, равны;
    • три стороны второй фигуры такие же, как и у первой.
    • Конечно, для бесспорного равенства, которое не вызовет ни малейшего сомнения, необходимо иметь одинаковые значения всех элементов обеих фигур, однако с использованием теорем задача значительно упрощается, и для доказательства равенства треугольников допускается наличие лишь нескольких условий.

      Первый признак равенства треугольников

      Задачи по этой теме решаются на основе доказательства теоремы, которая звучит так: «Если две стороны треугольника и угол, который они образуют, равны двум сторонам и углу другого треугольника, то и фигуры тоже равны между собой».

      Как же звучит доказательство теоремы про первый признак равенства треугольников? Всем известно, что два отрезка равны, если они одной длины, или окружности равны, если имеют одинаковый радиус. А в случае с треугольниками есть несколько признаков, имея которые, можно предположить, что фигуры идентичны, что очень удобно использовать при решении разных геометрических задач.

      Как звучит теорема «Первый признак равенства треугольников», описано выше, а вот ее доказательство:

    • Допустим, треугольники АВС и А1В1С1 имеют одинаковые стороны АВ и А1В1 и, соответственно, ВС и В1С1, а углы, которые образуются этими сторонами, имеют одну и ту же величину, то есть равны. Тогда, наложив △ ABC на △ А1В1С1, получим совпадение всех линий и вершин. Отсюда вытекает, что эти треугольники абсолютно идентичны, а значит, равны между собой.

    Теорему «Первый признак равенства треугольников» называют еще «По двум сторонам и углу». Собственно, в этом и заключается ее суть.

    Теорема о втором признаке

    Второй признак равенства доказывается аналогично, доказательство основывается на том, что при наложении фигур друг на друга они полностью совпадают по всем вершинам и сторонам. А звучит теорема так: «Если одна сторона и два угла, в образовании которых она участвует, соответствуют стороне и двум углам второго треугольника, то эти фигуры идентичны, то есть равны».

    Третий признак и доказательство

    Если как 2, так и 1 признак равенства треугольников касался как сторон, так и углов фигуры, то 3-й относится лишь к сторонам. Итак, теорема имеет следующую формулировку: «Если все стороны одного треугольника равны трем сторонам второго треугольника, то фигуры идентичны».

    Чтобы доказать эту теорему, нужно более детально углубиться в само определение равенства. По сути, что означает выражение «треугольники равны»? Идентичность говорит о том, что если наложить одну фигуру на другую, все их элементы совпадут, это может быть только в том случае, когда их стороны и углы будут равны. В то же время угол, противолежащий одной из сторон, которая такая же, как у другого треугольника, будет равен соответствующей вершине второй фигуры. Следует отметить, что в этом месте доказательство легко перевести на 1 признак равенства треугольников. В случае если такая последовательность не наблюдается, равенство треугольников просто невозможно, за исключением тех случаев, когда фигура является зеркальным отражением первой.

    Прямоугольные треугольники

    В строении таких треугольников всегда есть вершины с величиной угла 90°. Поэтому справедливы следующие утверждения:

  • треугольники с прямым углом равны, если катеты одного идентичны катетам второго;
  • фигуры равны, если равны их гипотенузы и один из катетов;
  • такие треугольники равны, если их катеты и острый угол идентичны.
  • Этот признак относится к прямоугольным треугольникам. Для доказательства теоремы применяют приложение фигур друг к другу, в результате которого треугольники складывают катетами так, чтобы из двух прямых вышел развернутый угол со сторонами СА и СА1.

    Практическое применение

    В большинстве случаев на практике применяется первый признак равенства треугольников. На самом деле такая, казалось бы, простая тема 7 класса по геометрии и планиметрии используется и для вычисления длины, например, телефонного кабеля без замеров местности, по которой он будет проходить. При помощи этой теоремы легко сделать необходимые расчеты для определения длины острова, находящегося посреди реки, не переплывая на него. Либо укрепить забор, расположив планку в пролете так, чтобы она делила его на два равных треугольника, или же рассчитать сложные элементы работы в столярном деле, или при расчете стропильной системы крыши во время строительства.

    Первый признак равенства треугольников имеет широкое применение в реальной «взрослой» жизни. Хотя в школьные годы именно эта тема для многих кажется скучной и совершенно ненужной.

    fb.ru

    wiki.eduVdom.com

    Инструменты пользователя

    Инструменты сайта

    Боковая панель

    Геометрия:

    Контакты

    Признаки равенства треугольников

    Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 1 изображены равные треугольники ABC и А1В1С1. Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.

    Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

    Так, например, в равных треугольниках ABC и A1B1C1, изображенных на рисунке 1, против соответственно равных сторон АВ и А1В1 лежат равные углы С и С1. Равенство треугольников ABC и А1В1С1 будем обозначать так: Δ ABC = Δ А1В1С1. Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, сравнивая некоторые их элементы.

    Теорема 1. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис.2).

    Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых АВ = A1B1, АС = A1C1 ∠ А = ∠ А1 (см. рис.2). Докажем, что Δ ABC = Δ A1B1C1.

    Так как ∠ А = ∠ А1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и A1C1. Поскольку АВ = A1B1, АС = А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1 а сторона АС — со стороной А1C1; в частности, совместятся точки В и В1, С и C1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники ABC и А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны.

    Аналогично методом наложения доказывается теорема 2.

    Теорема 2. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 34).

    Замечание. На основе теоремы 2 устанавливается теорема 3.

    Теорема 3. Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°.

    Из последней теоремы вытекает теорема 4.

    Теорема 4. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

    Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (подробнее).

    Пример 1. В треугольниках ABC и DEF (рис. 4)

    ∠ А = ∠ Е, АВ = 20 см, АС = 18 см, DE = 18 см, EF = 20 см. Сравнить треугольники ABC и DEF. Какой угол в треугольнике DEF равен углу В?

    Решение. Данные треугольники равны по первому признаку. Угол F треугольника DEF равен углу В треугольника ABC, так как эти углы лежат против соответственно равных сторон DE и АС.

    Пример 2. Отрезки АВ и CD (рис. 5) пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС равен 6 м?

    Решение. Треугольники АОС и BOD равны (по первому признаку): ∠ АОС = ∠ BOD (вертикальные), АО = ОВ, СО = OD (по условию).
    Из равенства этих треугольников следует равенство их сторон, т. е. АС = BD. Но так как по условию АС = 6 м, то и BD = 6 м.

    Пример 3. В треугольниках ABC и DEF (см. рис. 4) АВ = EF, ∠A = ∠E, ∠B = ∠F.

    Сравнить эти треугольники. Какие стороны в треугольнике DEF равны соответственно сторонам ВС и СА?

    Решение. Треугольники ABC и DEF равны по второму признаку. Стороны DF и DE треугольника DEF равны соответственно сторонам ВС и СА треугольника ABC, так как стороны DF и ВС (DE и СА) лежат против равных углов Е и A (F и В).

    Пример 4. На рисунке 6 углы DAB и СВА, CAB и DBA равны, СА = 13 м. Найти DB.

    Решение. Треугольники АСВ и ADB имеют одну общую сторону АВ и по два равных угла, которые прилежат к этой стороне. Следовательно, треугольники АСВ и ADB равны (по второму признаку). Из равенства этих треугольников следует равенство сторон BD и АС, т. е. BD = 13 м.

    wiki.eduvdom.com

    Правило равенство треугольника

    ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА. РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ. (8 часов)

    Урок 2. Сумма двух векторов. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

    Цели : ввести понятие суммы двух векторов; рассмотреть законы сложения векторов; научить строить сумму двух данных векторов, используя правило треугольника и параллелограмма.

    I. Анализ результатов самостоятельной работы.

    II. Изучение нового материала (лекция).

    Использовать таблицы «Сложение векторов», «Законы сложения», плакаты, графопроектор и др.

    1. Рассмотреть пример п. 79 о перемещении материальной точки из точки А в точку В, а затем из точки В в точку С (рис. 249).

    Записать : .

    2. Понятие суммы двух векторов (рис. 250); правило треугольника .

    3. Устно провести доказательство по рис. 251.

    4. Записать в тетрадях:

    1) для любого вектора справедливо равенство ;

    2) если А, В и С – произвольные точки, то (правило треугольника).

    5. Выполнить практическое задание № 753.

    6. Рассмотреть законы сложения векторов.

    7. Правило параллелограмма (рис. 252) и частное использование этого правила в физике, например при сложении двух сил.

    III. Выполнение практических заданий и упражнений.

    1. Начертите попарно неколлинеарные векторы . Постройте векторы .

    Вопрос к учащимся.

    – Какие из построенных векторов равны друг другу?

    2. Решите № 759 (а) без помощи чертежа. Докажите, что .

    , равенство верно.

    3. Упростите выражения:

    1) ; 2) .

    1) ;

    2) .

    4. Найдите вектор из условий:

    1) ; 2) .

    Используем законы сложения векторов:

    1) ;

    2) ;

    или же

    , тогда .

    5. Докажите, что четырехугольник ABCD – параллелограмм, если , где Р и х – произвольные точки плоскости.

    ;

    , получим, что векторы и равны, а это значит, что и , тогда по признаку параллелограмма ABCD – параллелограмм.

    Домашнее задание: изучить материал пунктов 79 и 80; ответить на вопросы 7–10, с. 214; решить задачи №№ 754, 759 (б) (без чертежа), 763 (б, в).

    www.compendium.su

    Задачи на равенство треугольников по первому признаку — сторона-угол-сторона

    Задача 2
    Докажите, что высота, биссектриса и медиана, проведённые к основанию равнобедренного треугольника, совпадают.
    Доказательство:
    Из предыдущей задачи мы имеем, что CD это биссектриса в равнобедренном треугольнике АВС, и мы доказали, что треугольники ACD и BCD равны. Из равенства следует, что угол ADC = CDB но они но они являются смежными, следовательно, их сумма равна 180°, отсюда угол ADC = CDB = 90°, что показывает, что CD это высота. Из равенства двух треугольников мы имеем, что AD = BD, т.e. CD является медианой.

    Задача 3
    Докажите, что углы в основании любого равнобедренного треугольника равны.
    Доказательство:
    Мы вновь используем первую задачу и то, что треугольники ACD и BCD равны. Углы в основании равнобедренного треугольника равны, потому что они являются соответствующими углами в равных треугольниках.

    Задача 4
    Вычислите периметр равнобедренного треугольника АВС, если периметр треугольника ADC равен 18 cм, и CD = 6 cм и AD = BD (fig.5)

    Доказательство:
    Периметр треугольника ADC = AC + CD + AD = 18 ⇔ AC + 6 + AD = 18 ⇔ AC + AD = 12
    Потому что AC = BC (треугольники являются равнобедренными) и AD = DB, следовательно AC + AD = DB +BC = 12
    Периметр треугольника ABC = AB + AC + BC = AD + DB + AC + BC = 12 + 12 = 24 cм.

    Задача 5
    Докажите, что прямая линия, которая вырезает равные отрезки на сторонах угла, является перпендикулярной к биссектрисе этого угла.
    Доказательство:

    Пусть прямая формирует на сторонах угла АОВ два равных отрезка OC = OD. Тогда треугольник OCD является равнобедренным ОКР и OF является биссектрисой к основанию. В соответствии с задачей, 2 OF является высотой, т.е. OF перпендикулярна к α

    Задача 6
    Докажите, что если диагонали четырёхугольника делят друг друга пополам, то противоположные стороны четырёхугольника — равны.
    Доказательство:

    Для четырехугольника ABCD мы знаем, что AO = OC и BO = OD. Тогда треугольники AOD и BOC также равны (по первому признаку, AO = OC; BO = OD и углы DOA = BOC – вершина), поэтому AD = BC. Аналогично треугольники AOB и DOC равны, откуда AB = CD

    Задача 7
    Докажите, что если треугольник ABC равен A1B1C1 и для всех точек M и M1 на сторонах AB и A1B1 верно, что AM = A1M1 CM = C1M1 и угол BMC = B1M1C1
    Доказательство:

    MB = M1B1 потому что из равных отрезков AB и A1B1 мы вычитаем равные отрезки AM и A1M1. Углы BMC и B1M1C1 — равны, потому что они являются смежными углами к углам AMC и A1M1C1, которые равны (треугольник AMC равен A1M1C1)

    Задача 8
    Есть треугольники ABC (AC

    www.math10.com

    Это интересно:

    • Отдел опеки по краснодарскому краю Отдел опеки по краснодарскому краю Граждан, обращающихся в Центральный отдел Управления Росреестра по Краснодарскому краю, нередко интересует вопрос: в каких случаях необходимо согласие органа опеки при отчуждение жилого помещения, в котором проживают находящиеся под опекой или […]
    • Закон о военнослужащих 76 фз статья 10 Статья 28.10. Исполнение дисциплинарных взысканий 1. Исполнение дисциплинарного взыскания должно быть начато до истечения срока давности привлечения к дисциплинарной ответственности. Если исполнение дисциплинарного взыскания в указанный срок не начато, то оно не исполняется. 2. […]
    • Заявление уфмс воронеж Отдел УФМС России по Воронежской области в Коминтерновском районе г. Воронежа Руководство Управления Начальник Викулина Ирина Викторовна Старший инспектор Филимонцева Лариса Петровна График работы по приему населения Прием: Понедельник: 18.00 - 19.45 Вторник: 14.00 - 16.00 Четверг: 14.00 […]
    • Статья об административных правонарушениях несовершеннолетних Кодекс Российской Федерации об административных правонарушениях от 30.12.2001 N 195-ФЗ ст 6.21 (ред. от 23.04.2018) Статья 6.21. Пропаганда нетрадиционных сексуальных отношений среди несовершеннолетних 2. Действия, предусмотренные частью 1 настоящей статьи, совершенные с применением […]
    • Правила моей кухни новая зеландия на русском Правила моей кухни 8 сезон Краткое описание "Правила моей кухни 8 сезон" Кулинарное шоу «Правило моей кухни» продолжает снимать сезон и набирать новых участников. Несколько команд будут между собой соревноваться, в одной команде участвуют два человека. Первом сезоне телешоу отобрали […]
    • Миром правят чувство Миром правят жажда власти, секс и чувство голода? Поделиться Для многих людей жизненный успех определяется местом, которое они занимают в «пищевой цепочке»: ты или хищник, и этим всё сказано, или травоядный. В природе всё подчинено праву сильного. Например, лев, пользуясь положением […]
    • Приказ 837 мвд рф Опубликован Приказ МВД РФ № 707 от 6 сентября 2017 г. Министр внутренних дел Владимир Колокольцев 6 сентября 2017 года подписал Приказ № 707 от 6.09.2017 года О внесении изменений в нормативные правовые акты МВД России по вопросам регистрационно-экзаменационной […]
    • Уголовный кодекс 161 ст Статья 161 УК РФ. Грабеж 1. Грабеж, то есть открытое хищение чужого имущества, - наказывается обязательными работами на срок до четырехсот восьмидесяти часов, либо исправительными работами на срок до двух лет, либо ограничением свободы на срок от двух до четырех лет, либо принудительными […]