Взаимно простые числа правило

admin

Презентация на тему «Взаимно обратные числа. Правило умножение дробей. Сокращение дробей»

  • Скачать презентацию (0.19 Мб)
  • 11 загрузок
  • 5.0 оценка
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • Аннотация к презентации

    Презентация для школьников на тему «Взаимно обратные числа. Правило умножение дробей. Сокращение дробей» по математике. pptCloud.ru — удобный каталог с возможностью скачать powerpoint презентацию бесплатно.

    Содержание

    Тема урока: Взаимно обратные числа

    Урок математики в 6 классе

    Цели урока:

    ввести понятие взаимно обратных чисел; сформировать умение находить взаимно обратные числа при решении упражнений; повторить правило умножения дробей, сокращение дробей, развивать логическое мышление учащихся.

    I. Актуализация знаний

    Как умножить дробь на натуральное число? Как выполнить умножение двух дробей? Как выполнить умножение смешанных чисел?

    II. Устная работа

    № 1 Представить в виде неправильной дроби:

    № 2 Выполните умножение:

    III. Изучение нового материала

    Используя правила умножения дробей выполните следующие задания.

    Самостоятельная работа 1. Найдите произведение: 1) 2) 3) 4) 0,2 ∙ 5 = 5) 2,5 ∙ 0,4 = 1 1 1 1 1

    2. Запомните: два числа, произведение которых равно единице, называются взаимно обратными числами.

    3. Укажите пары чисел, в которых числа взаимно обратны:

    1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 4. Какие пары не являются взаимно обратными числами?

    5. Найди число, обратное данному:

    1) 2) 3) 4) 5) 10 6) 9

    Сделаем вывод:

    чтобы найти число, обратное обыкновенной дроби, нужно числитель и знаменатель дроби поменять местами; 2) число, обратное натуральному, — это дробь, числитель которой 1, а знаменатель – само натуральное число.

    IV.Закрепление изученного

    1. Решить № 577(а, г, д), № 578(а, е) 2. Верно ли, что: 1) каждому числу найдется обратное; 2) существуют числа, у которых нет обратного; 3) существуют числа, которые являются обратными сами себе; 4) ни одно число не является обратным самому себе?

    V. Итог урока

    1. Какие числа называют взаимно обратными? Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

    2. Как записать число обратное дроби ? Чтобы записать число, обратное обыкновенной дроби, нужно числитель и знаменатель дроби поменять местами.

    3. Как записать число, обратное натуральному числу? Чтобы записать число, обратное натуральному надо в числитель записать 1, а в знаменатель – само натуральное число.

    4. Как записать число, обратное смешанному числу? Чтобы записать число, обратное смешанному числу надо: представить его в виде неправильной дроби; 2) нужно числитель и знаменатель поменять местами.

    pptcloud.ru

    § 5. Взаимно простые числа

    Целые числа а1 , … , ап (n 2), не равные одновременно нулю, назовём взаимно простыми (в совокупности), если НОД(а1 , … , ап) = 1, и попарно взаимно простыми, если для любых i j (1 i, j n) выполнено условие НОД(аi , aj) = 1. В случае п = 2 эти понятия совпадают, но различны в общем случае, как показывает следующий пример:

    Пример: Числа 2, 3, 4 взаимно просты в совокупности (т.к. (2, 3, 4) = = ((2, 3), 4) = (1, 4) = 1), но не попарно взаимно просты ((2, 4) = 2 1).

    Простейшие свойства взаимно простых чисел

    1 0 . Если D = НОД(а1 , … , ап), то целые числа , … ,взаимно просты в совокупности.

    Из свойства 2 0 легко вывести следующие два свойства:

    3 0 . Целые числа а и b взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют целые числа х, у со свойством ах + by = 1.

    а взаимно просто с т и b взаимно просто с т,

    произведение аb взаимно просто с т.

    что и требовалось.

    Это доказывается индукцией по п. Базу индукции (п = 2) обеспечивает свойство 5 0 . Предположим, что эквивалентность условий уже доказана для п = k 2 и докажем её для п = k + 1. Имеем

    i взаимно просты с т (1 i k) и ak+1 взаимно просто с т)

    1 ak взаимно просто с т и ak+1 взаимно просто с т)

    (произведение (а1 ak)ak+1 взаимно просто с т),

    что и требовалось доказать.

    В самом деле, если bc = аd, то учитывая существование целых чисел х, у со свойством ах + by = 1, получим

    Обратная импликация очевидна.

    Это свойство часто используется в теоретико-числовых рассуждениях, с его помощью можно, например, сократить доказательства некоторых свойств делимости нацело. Поэтому будем его называть основным свойством взаимно простых чисел.

    Упражнения: 1. Проанализируйте доказательства свойств делимости нацело и упростите некоторые из них, применив свойство 7 0 .

    2. Докажите, что если квадрат некоторого натурального числа раскладывается в произведение попарно взаимно простых множителей, то каждый из них является квадратом подходящего натурального числа.

    Взаимно простые числа правило

    6 о . Числа 1, 2, …, a1 взаимно просты с a тогда и только тогда, когда aпростое.

    §3. Простые числа. Основная теорема арифметики.

    На какие числа делится 6? На 1, 2, и 3. А на какие делится 5? На 1 и 5. На какие делятся соответственно 12 и 13? 12 — на 1, 2, 3, 4, 6 и 12, а 13 — на 1 и 13. Как видим, некоторые числа могут делиться только на 1 и само себя, а некоторые — кроме 1 и самого себя, ещё на другие.

    3.1. Простые числа.

    3.1.1. Определение. Если число, не равное 1, делится только на единицу и на само себя, то оно называется простым. Если кроме 1 и самого себя у числа есть другие делители, то оно называется составным. Число 1 считается ни простым, ни составным.

    В наших примерах простыми являются 5 и 13, а 6 и 12 — составные.

    Простыми являются числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т.д. Этот ряд можно продолжить. Возникает вопрос: можно ли этот ряд простых чисел продолжить до бесконечности, или существует такое простое число p, больше которого простых чисел не существует?

    Ответ на этот вопрос даёт

    3.1.2. Теорема. Простых чисел бесконечно много.

    3.1.3. Теорема. Справедливы следующие простейшие свойства простых чисел:

    1 о . Наименьший отличный от 1 положительный делитель целого числа a является простым. В частности, любое целое число делится на некоторое простое число.

    3.2. Основная теорема арифметики. Рассматривая 6 как произведение, имеем 6=23=32, то есть 6 можно представить как произведение простых чисел. Далее, 12=43=26. В свою очередь, 4 и 6 можно тоже представить в виде произведения 4=22, 6=32. Поэтому 12=223=232, то есть 12 тоже представляется в виде произведения простых чисел. Рассмотрим ещё пример:

    то есть, постепенно разлагая делители числа 720, мы пришли к тому, что представили это число в виде произведения простых сомножителей. Ясно, что это произведение можем записать в другом виде

    В любом случае в разложении числа 720 будут участвовать 5 двоек, 2 тройки и 1 пятёрка. Это же можно сказать про любое целое положительное число.

    Таким образом, простые числа являются своеобразными “кирпичиками”, из которых состоят числа.

    Сформулируем сказанное в виде теоремы:

    3.2.1. Теорема. Любое целое положительное число можно представить в виде произведения простых чисел. Если имеются два различных таких представления, то они могут отличаться только порядком следования сомножителей, но не количеством тех или иных сомножителей.

    Эта теорема носит название основной теоремы арифметики.

    Пусть n=q1q2qt  разложение натурального числа n на простые множители. В этом разложении q1 может участвовать несколько раз. Если q1=p1 в этом разложении встречается 1 раз, то, собрав все эти сомножители вместе и обозначив их произведение, как обычно, через , получим

    n=r1r2rs, (3.2.1)

    где r1r2rs  произведение оставшихся простых сомножителей, отличных от p1. Снова простой сомножитель r1=p2 в (3.2.1) может участвовать несколько, скажем, 2, раз. Собрав эти сомножители вместе и обозначив полученное произведение через , имеемn=s1s2sl, где s1s2sl  произведение остальных простых сомножителей, отличных от p1 и p2. Далее, собрав простые сомножители s1=p3 и обозначив их произведение через и, продолжая дальше этот процесс, получим следующее разложение числаn:

    n=, (3.2.2)

    Очевидно, если, n= другое каноническое разложение, то k=l и эти разложения отличаются только порядком следования сомножителей вида (соответственно). Если же в (3.2.2) потребовать, чтобыp1, p2, …, pk располагались в порядке возрастания (или убывания), то разложение (3.2.2) будет однозначным.

    Впредь под каноническим разложением будем подразумевать такое разложение (3.2.2), в котором p1, p2, …, pk располагаются по возрастанию.

    Практическое разложение в произведение простых чисел заключается в следующем. Пусть требуется разложить в произведение простых сомножителей число 3603600. Это число делится на 2: 3603600=21801800. Снова 1801800 делится на 2: 1801800=2900900. Продолжая делить на 2, получаем 3603600=2 4 225225. Теперь 225225 не делится на 2, но делится на 3 (так как 2+2+5+2+2+5=18 делится на 3). Поэтому делим 225225 на 3: 225225=375075. Так как 7+5+0+7+5=24 делится на 3, то 75075 делится на 3: 75075=325025. Теперь 25025 не делится на 3 (2+5+0+2+5 не делится на 3), но делится на 5 (так как оканчивается на 5): 25025=55005. Снова 5005 делится на 5: 5005=51001. Число 1001 не делится на 5, но делится на 7: 1001=7143. Число 143, как легко видеть, не делится на 7, но делится на 11: 143=1113. В итоге получаем

    3603600=2 4 3 2 5 2 71113.

    Процесс постепенного разложения числа на простые множители оформляется в виде столбца

    studfiles.net

    ТЕМА: Делимость чисел
    УРОК: Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа

    • Вне плана обучения
    • Взаимно простые числа

      Натуральные числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен $$1$$. Иначе это можно понять так — у взаимно простых чисел единственный общий делитель $$1$$. Других чисел, на которые они делятся одновременно, нет.

      Пример 1: Найдем $$НОД(24;35)$$.

      Решение: Сначала выпишем все делители каждого их этих чисел:

      $$1,2,3,4,6,8,12,24$$ — все делители числа $$24$$
      $$1,5,7,35$$ — все делители числа $$35$$.

      Видим, что у этих чисел только один общий делитель $$1$$. Он же является их наибольшим общим делителем. Значит, числа $$24$$ и $$35$$ взаимно простые.

      Иначе определить, являются ли числа взаимно простыми можно, разложив их на простые множители.

      Пример 2: Убедимся, что числа $$147$$ и $$110$$ взаимно простые.

      Решение: Для этого разложим каждое число на простые множители и убедимся, что у них нет совпадающих простых множителей: $$$147=3\cdot7\cdot7$$$ $$$11=2\cdot5\cdot11$$$ Видим, что все множители в разложениях этих чисел разные. Значит, кроме $$1$$ нет другого числа, на которое они делятся одновременно. Поэтому $$НОД(147;110)=1$$, то есть, эти числа являются взаимно простыми.

      Чтобы убедиться, что два числа не взаимно простые, достаточно найти хотя бы один их общий делитель, отличный от $$1$$.

      Пример 3: Числа $$186$$ и $$837642$$ не являются взаимно простыми, так как оба четные, то есть, делятся на $$2$$ — это их общий делитель, отличный от $$1$$.

      Числа $$175$$ и $$890$$ не являются взаимно простыми, так как оба делятся на $$5$$.

      Простое число взаимно просто с любым другим, кроме тех, которые на него делятся.

      Пример 4: Числа $$23$$ и $$87$$ взаимно простые. Так как число $$23$$ само простое, то у него нет других делителей, кроме $$1$$ и $$23$$. Но так как $$87$$ не делится на $$23$$, то единственным их общим делителем является $$1$$. Значит, эти числа взаимно простые.

      lomonosovclass.com

      Взаимно обратные числа, деление дробей

      Взаимно обратные числа

      Числа $a$ и $b$ называются взаимно обратными, если результат их умножения равен $1$:

      Говорят: «число $a$ обратно числу $b$, число $b$ обратно числу $a$».

      Например, взаимно обратными будут такие пары чисел:

      Несложно проверить, что произведение каждой из пар чисел равно $1$:

      Взаимно обратные числа существуют на множестве натуральных, целых, действительных и комплексных чисел.

      В общем виде число, обратное данному числу $a$, записывают в виде дроби $\frac<1>$ или $a^<-1>$, т.к. по определению:

      Число, обратное данному, легко найти для натурального числа или для обыкновенной дроби.

      Нахождение числа, обратного обыкновенной дроби

      Например, обратным числом для дроби $\frac<11><27>$ будет дробь $\frac<27><11>$.

      Нахождение числа, обратного натуральному числу

      Для нахождения числа, обратного натуральному числу $n$, нужно представить данное натуральное число в виде дроби со знаменателем $1: n=\frac<1>$. Далее поменять местами числитель и знаменатель дроби и получить дробь, обратную данному натуральному числу: числа $n=\frac<1>$ и $\frac<1>$ – взаимно обратные.

      Например, натуральное число 9 имеет взаимно обратное число $\frac<1><9>$, а число $\frac<1><6>$ является обратным натуральному числу $6$.

      Число $1$ взаимно обратно самому себе.

      Ничего непонятно?

      Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

      Деление обыкновенных дробей

      Делением является действие, обратное умножению.

      Правило деления обыкновенных дробей:

      Говорят: «чтобы разделить число на дробь, нужно это число умножить на перевернутую дробь».

      Разделить дробь $\frac<16><3>$ на $\frac<5><7>$.

      Найдем число, обратное делителю $\frac<5><7>$, для чего поменяем местами ее числитель и знаменатель и получим $\frac<7><5>$.

      Согласно правилу деления обыкновенных дробей получим:

      Если в результате деления дробей получается сократимая или неправильная дробь, необходимо привести ее к несократимому виду или выделить целую часть.

      Разделить дробь $\frac<22><5>$ на $\frac<11><3>$.

      Найдем число, обратное делителю $\frac<11><3>$, для чего поменяем местами ее числитель и знаменатель и получим $\frac<3><11>$.

      Согласно правилу деления обыкновенных дробей, получим:

      Очевидно, что можно выполнить сокращение числителя и знаменателя на $11$:

      Получили неправильную дробь, из которой необходимо выделить целую часть:

      Полная запись решения:

      Деление дроби на число

      Правило деления дроби на число:

      Лень читать?

      Задай вопрос специалистам и получи
      ответ уже через 15 минут!

      Разделить дробь $\frac<3><7>$ на число $5$.

      Воспользуемся правилом деления дроби на число и получим:

      Если в результате деления получается сократимая или неправильная дробь, необходимо привести ее к несократимому виду или выделить целую часть.

      Разделить дробь $\frac<52><7>$ на число $13$.

      Выполним сокращение дроби, разложив ее числитель и знаменатель на простые множители:

      spravochnick.ru

      Это интересно:

      • Шаблоны для оформления правил Шаблоны презентаций "Правила дорожного движения" Успейте воспользоваться скидками до 50% на курсы «Инфоурок» Выбранный для просмотра документ Презентация Microsoft Office PowerPoint (2).pptx Вы можете использовать данное оформление для создания своих презентаций, но в своей […]
      • Создание презентаций в powerpoint правила Правила при создании презентаций в MS PowerPoint Прочитав заголовок, вы спросите: «А разве бывают правила, при создании презентаций? Каждый автор волен создавать ее по своему вкусу и разумению!». Не скажу, что вы не правы, но если вам приходилось присутствовать на презентациях […]
      • Земельный кадастр учебное пособие Земельный кадастр Варламов А.А., Гальченко С.А. Земельный кадастр (в 6-ти томах). Том 6. Географические и земельные информационные системы . — М.: КолосС, 2006. — 400 с. — (Учебники и учеб. пособия для студентов высш. учеб. заведений). Рассмотрены теоретические и методические вопросы […]
      • Оформить кредит в европа кредит банке Кредиты Кредит Европа Банка Потребительские кредиты Автокредиты Сумма от 100 000 до 2 500 000 Срок от 12 мес. до 84 мес. Время рассмотрения до 24 часов Подтверждение дохода Не требуется Сумма от 300 000 до 6 000 000 Срок от 24 мес. до 84 мес. Кредитные карты до 250 000 […]
      • При патенте ндс Учет ИП при патенте Уже три года есть возможность пользоваться патентной системой налогообложения, хотя отношение к ней у предпринимателей пока осторожное. Каков учет ИП при патенте и чем привлекателен этот режим налога, читайте далее в нашей статье. Патентная система налогообложения, […]
      • Правила пдд 2018г штрафы Новые штрафы ГИБДД с 1 января 2018 года Ежегодно в Правилах дорожного движения нас ожидают изменения и корректировки главной задачей которых является сделать водителей авто и пешеходов в том числе более ответственными и внимательными. Иными словами, все изменения и корректировки […]
      • Бланк заявление загса Бланк заявление загса Электронную форму бланка заявления, соответствующую форме, утвержденной Постановлением Правительства РФ от 31.10.98 №1274, Вы можете взять здесь: Заявление распечатывается с оборотом в одном экземпляре. Заявление заполняется от руки разборчивым почерком чернилами […]
      • Ст 583 закона no 212-фз Основные положения закона «О страховых взносах» ФЗ № 212 Отправить на почту 212 ФЗ о страховых взносах был разработан для утверждения порядка расчета и перечисления взносов в ПФ РФ, ФСС РФ и ФФОМС. В 212-ФЗ о страховых взносах установлены лица, которые уплачивают взносы, порядок расчета, […]