Правило треугольника для определителя 4 порядка

admin

Правило треугольника для определителя 4 порядка

РЕШЕНИЕ: Разложим определитель по второму столбцу (Выбирать лучше ту строку (или тот столбец), где больше нулей, если они есть).

Вычисление определителя произвольного порядка.Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (или столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.

Определитель второго порядка обозначается символом

1. 2; 2. -6; 3. 24; 4. 0; 5. -13; 6. -8; 7. -101; 8. -14; 9. 17.

Вычислить алгебраическое дополнение А21 элемента а21 .

(Математик. Внёс большой вклад в популяризацию математики. Написал несколько книг о том, как решают задачи и как надо учить решать задачи.)

Определитель, детерминант матрицы

Для вычисления определителей высших порядков, используется способ разложения определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения. При этом вычисление определителя -го порядка сводится к вычислению определителей -го порядка.

Схематически это правило можно изобразить следующим образом

Определитель матрицы третьего порядка можно вычислить, используя правило треугольника или правило Саррюса.

Теорема о разложении определителя по элементам строки. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения.

Правило треугольника. Определителем матрицы третьего порядка можно вычислить по формуле

Определитель матрицы обозначается вертикальными черточками или греческой буквой или

Определитель матрицы

Получим нули в третьем столбце под главной диагональю. Для этого к 3-ему столбцу добавим 4-тий столбец, умноженный на 8:

Сначала получим нули в первом столбце под главной диагональю. Для этого отнимем от 3-тей строки 1-ую строку, а от 4-той строки 1-ую строку, умноженную на 2:

Решение: Вычислим определитель матрицы, разложив его по второй строке (в ней больше всего нулей):

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

= 2·(2·1·3 + 1·3·4 + 1·2·2 — 1·1·4 — 2·3·2 — 1·2·3) = 2·(6 +12 + 4 — 4 — 12 — 6) = 2·0 = 0

det(A) = 5 7 1 -4 1 0 2 0 3 = 5·1·3 + 7·0·2 + 1·(-4)·0 — 1·1·2 — 5·0·0 — 7·(-4)·3 = 15 + 0 + 0 — 2 — 0 + 84 = 97

Определитель матрицы 3 на 3

Определитель равен 11.
Приведенная схема пригодиться Вам для вычисления определителя матрицы 3 * 3. Все что Вам нужно — подставить свои значения.

Пример 4. Вычислить определитель матрицы

Схема вычислений приведена выше поэтому копировать ее не будем, а лишь распишем в деталях. Для этого дописываем к стандартному определителю два первых столбца и выполняем следующие расчеты.

С его помощью Вы легко проверите правильность исчисления основных операций с матрицами, а также сможете найти определитель матрицы и обратную матрицу. Для матриц 3*3 используется правило треугольников, для 4*4 — расписание определителя через элементы первой строки. Меню довольно простое и интуитивно понятное.
Определитель 7 задачу через матричный калькулятор иметь следующий вид

Пример 1. Найти определитель матрицы

Методы вычисления определителей

Задание. Вычислить определитель , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Задание. Вычислить определитель второго порядка

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.

Пример 8. При каких значениях параметра а определитель матрицы равен нулю

Пример 2. Вычислить определитель матрицы

Решение: В целях научить Вас чему-то новому, найдем определитель матрицы по правилу Саррюса.

Параметры при которых определитель обращается в нуль уровне a=-3;a=3 .

Пример 5. Найти определитель матрицы

Пример 3. Найти определитель матрицы 3*3
Решение: Применяем правило треугольника для нахождения определителя

grb03.ru

Вычисление определителей 2 — 4-го порядка

Научиться вычислять определители, обратные матрицы и т.д. — одно из основных заданий для первокурсников, которые получают образование на факультетах с математическим уклоном в обучении. Многие сервисы в интернете предлагают онлайн нахождения определителей и всего что касается матриц, однако мало программ — математических калькуляторов которые показывают ход решения. В конце статьи Вашему вниманию предлагается такой калькулятор, но об этом позже, а сейчас давайте рассмотрим несколько примеров нахождение определителя матрицы.

За справочник возьмем сборник задач Дубовика В.П., Юрика И.И. «Высшая математика». Позже будут добавлены примеры вычисления определителя матрицы из других источников.

Применим правило вычисления определителя для матрицы второго порядка.

Выполним вычисления согласно правилу

Данный пример выглядит сложным но со знанием следующих правил логарифма

решается на удивление быстро.

Вычислим данный определитель двумя способами: по правилу треугольников и через алгебраические дополнения.

А сейчас разложим по элементам первого рядка, поскольку в нем больше нулей

В этом примере специально выписаны дополнение у нулевых множителей, так как не все понимают откуда берутся дополнения. По правилу они равны определителю, который образуется вычеркиванием строки и столбца того элемента для которого ищутся, умноженному на минус единицу в степени

.

Схематически на примере матрицы четвертого порядка это выглядит так:

Внимательно посмотрите, какие элементы в определителе выписаны для дополнений и Вам все станет понятно.

Суть метода алгебраических дополнений заключается в том, что когда мы матрицу с нулевыми элементами может разложив ее по по строке или столбцу в котором больше нулей нам остается вычислить столько определителей на порядок меньших основной матрицы, сколько ненулевых элементов. Это значительно упрощает вычисления.

Если вычисления проводить по правилу треугольников, то получим много нулевых произведений. В такого рода примерах целесообразно использовать алгебраические дополнения.

Вычислим определитель через алгебраические дополнения третьей строки

Как можно убедиться, решение с помощью алгебраических дополнений в случаях разреженных матриц можно получить быстро и без большого количества вычислений.

Выполним элементарные преобразования. От другого рядка вычтем первый, а от четвертого — третий. Получим разреженную матрицу

Определитель найдем через алгебраические дополнения к четвертой строке

Вычислим каждый из слагаемых

Подставляем в определитель

Найдем определитель через расписание по строкам и столбцам, содержащие нули (выделены черным).

Таким методом нахождения определителя пятого порядка свелось к простым вычислениям. Практикуйте и изучайте правила и через некоторое время у Вас будет выходить не хуже. До встречи в следующих уроках!

yukhym.com

Особенности вычисления определителя матрицы (стр. 1 из 2)

1. Постановка задачи. 3

2. Математические и алгоритмические основы решения задачи. 5

2.1 Определитель матрицы. 5

2.2 Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. 6

2.3 Метод Гаусса для вычисления определителя. 8

3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи. 9

4. Программная реализация решения задачи. 11

5. Пример выполнения программы. 16

Список использованных источников и литературы. 19

Многие проблемы, возникающие в экономических исследованиях, планировании и управлении, будучи сформулированными математически, представляют собой задачи, в которых необходимо решить систему алгебраических уравнений.

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной.

При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности. Этот метод (который также называют методом последовательного исключения неизвестных) известен в различных вариантах уже более 2000 лет.

Помимо аналитического решения СЛАУ, метод Гаусса также применяется для нахождения матрицы, обратной к данной, определения ранга матрицы и нахождения определителя.

Целью данной курсовой работы является реализация вычисления определителя методом исключения Гаусса.

1. Постановка задачи

Вычисление определителя матрицы заключается в выполнении над матрицей алгоритма Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. В результате выполнения алгоритма получаем диагональную матрицу, её определитель равен произведению элементов, стоящих на диагонали.

Вычислить определитель матрицы методом A исключения Гаусса.

Приведем матрицу к диагональному виду методом Гаусса.

Тогда определитель матрицы равен произведению ее элементов, стоящих на диагонали:

Знак определяется количеством обменов строк, следовательно определитель матрицы

2. Математические и алгоритмические основы решения задачи

2.1 Определитель матрицы

Введем определение определителя квадратной матрицы любого порядка. Это определение будет рекуррентным, то есть чтобы установить, что такое определитель матрицы порядка n, нужно уже знать, что такое определитель матрицы порядка n-1. Отметим также, что определитель существует только у квадратных матриц.

Определитель квадратной матрицы A будем обозначать

Определение. Определителем квадратной матрицы

второго порядка называется число

квадратной матрицы порядка n,

2.2 Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Пусть дана квадратная матрица A размером NxN. Требуется вычислить её определитель.

Воспользуемся идеями метода Гаусса решения систем линейных уравнений.

a11 x1 + a12 x2 + . + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + . + a2n xn = b2

an1 x1 + an2 x2 + . + ann xn = bn

Выполним следующий алгоритм.

На первом шаге найдём в первом столбце наибольший по модулю элемент, поставим уравнение с этим элементом на первую строчку (обменяв две соответствующие строки матрицы A и два соответствующих элемента вектора B), а затем будем отнимать это уравнение от всех остальных, чтобы в первом столбце все элементы (кроме первого) обратились в ноль. Например, при прибавлении ко второй строке будем домножать первую строку на -a21/a11, при добавлении к третьей — на -a31/a11, и т.д.

На втором шаге найдём во втором столбце, начиная со второго элемента, наибольший по модулю элемент, поставим уравнение с этим элементом на вторую строчку, и будем отнимать это уравнение от всех остальных (в том числе и от первого), чтобы во втором столбце все элементы (кроме второго) обратились в ноль. Понятно, что эта операция никак не изменит первый столбец — ведь от каждой строки мы будем отнимать вторую строку, домноженную на некоторый коэффициент, а во второй строке в первом столбце стоит ноль.

Т.е. на i-ом шаге найдём в i-ом столбце, начиная с i-го элемента, наибольший по модулю элемент, поставим уравнение с этим элементом на i-ю строчку, и будем отнимать это уравнение от всех остальных. Понятно, что это никак не повлияет на все предыдущие столбцы (с первого по (i-1)-ый).

В конце концов, мы приведём систему к так называемому диагональному виду:

Т.е. мы нашли решение системы.

Замечание 1. На каждой итерации найдётся хотя бы один ненулевой элемент, иначе система бы имела нулевой определитель, что противоречит условию.

Замечание 2. Требование, что на каждом шаге мы выбираем наибольший по модулю элемент, очень важно в смысле численной устойчивости метода. Если выбирать произвольный ненулевой элемент, то это может привести к гигантской погрешности, когда получившееся решение будет отличаться в разы от правильного.

2.3 Метод Гаусса для вычисления определителя

Будем выполнять те же самые действия, что и при решении системы линейных уравнений, исключив только деление текущей строки на a[i][i] (точнее, само деление можно выполнять, но подразумевая, что число выносится за знак определителя). Тогда все операции, которые мы будем производить с матрицей, не будут изменять величину определителя матрицы, за исключением, быть может, знака (мы только обмениваем местами две строки, что меняет знак на противоположный, или прибавляем одну строку к другой, что не меняет величину определителя).

Но матрица, к которой мы приходим после выполнения алгоритма Гаусса, является диагональной, и определитель её равен произведению элементов, стоящих на диагонали. Знак, как уже говорилось, будет определяться количеством обменов строк (если их нечётное, то знак определителя следует изменить на противоположный). Таким образом, мы можем с помощью алгоритма Гаусса вычислять определитель матрицы за O(N3).

Осталось только заметить, что если в какой-то момент мы не найдём в текущем столбце ненулевого элемента, то алгоритм следует остановить и вернуть 0.

3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи

Блок-схема решения задачи представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 – Блок-схема решения задачи для функции DETERMINATE

4 Программная реализация решения задачи

;ФУНКЦИЯ, ВЫЧИСЛЯЮЩАЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

(DEFUN DETERMINANT (MATRIX SIZE)

(DECLARE (SPECIAL DET))

;ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ МАССИВЫ И ПЕРЕМЕННЫЕ

(DECLARE (SPECIAL PAR))

(DECLARE (SPECIAL R))

(DECLARE (SPECIAL T_))

(DECLARE (SPECIAL I))

(DECLARE (SPECIAL II))

(SETQ R (MAKE-ARRAY SIZE :ELEMENT-TYPE ‘FLOAT :INITIAL-ELEMENT 0))

;ИСКЛЮЧАЕМ ДЕЛЕНИЕ НА 0

(IF (= (AREF MATRIX J J) 0)

;ИЩЕМ СТРОКУ В КОТОРОЙ J-Й ЭЛЕМЕНТ НЕ 0

((OR (/= (AREF MATRIX II J) 0) (= II (- SIZE 1))))

;ЕСЛИ НЕТ ТАКОЙ СТРОКИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ РАВЕН 0

(IF (AND (= (AREF MATRIX II J) 0) (= II (- SIZE 1))) (SETQ T_ 0))

Разработка пакета прикладных программ для вычисления определителя матрицы (стр. 1 из 3)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Разработка пакета прикладных программ для вычисления определителя матрицы произвольного порядка

Си (англ. C) — стандартизированный процедурный язык программирования, разработанный в начале 1970-х годов сотрудниками Bell Labs Кеном Томпсоном и Денисом Ритчи как развитие языка Би. Си был создан для использования в операционной системе UNIX. С тех пор он был портирован на многие другие операционные системы и стал одним из самых используемых языков программирования. Си ценят за его эффективность. Он является самым популярным языком для создания системного программного обеспечения. Его также часто используют для создания прикладных программ. Несмотря на то, что Си не разрабатывался для новичков, он активно используется для обучения программированию. В дальнейшем синтаксис языка Си стал основой для многих других языков.

Для языка Си характерны лаконичность, современный набор конструкций управления потоком выполнения, структур данных и обширный набор операций.

Язык Си был создан для программистов, учитывая их интересы, и многократно проверялся на практике, прежде чем был окончательно реализован. Именно поэтому языки Си и Си++ стали наиболее популярными среди программистов высокого уровня.

Цель работы – разработка пакета прикладных программ для вычисления определителя матрицы произвольного порядка.

Метод исследования – изучение литературы, написание и отладка программ на компьютере

1. Анализ вопроса и постановка задачи

1.1 Выбор метода решения

Вычисление определителя матрицы можно осуществить одним из следующих способов.

1. Метод понижения порядка. Нахождение определителя n-го порядка сводится к вычислению п определителей (n – 1)-го порядка. Метод неэффективен.

2. Нахождение определителя сводится к вычислению одного определителя (n – 1)-го порядка. Для этого достаточно все элементы, кроме одного, в каком-либо столбце (строке) сделать равными нулю.

3. Приведение определителя к треугольному виду. Состоит в таком его преобразовании, когда все элементы, лежащие по одну сторону главной диагонали, становятся нулями. Полученный определитель равен произведению элементов главной диагонали:

4. Вычисление определителя и обратной матрицы с помощью метода Гаусса

5. Метод Крамера

Рассмотрим метод Крамера созданный Габриелем Крамером в 1750 году. Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы.

Матрица — это прямоугольная таблица, составленная из чисел. Особое место среди матриц занимают квадратные матрицы. Рассмотрим произвольную квадратную матрицу порядка

Оказывается, что с такой матрицей всегда можно связать вполне определенную числовую характеристику.

Определение 1. Численная характеристика квадратной матрицы называется ее определителем .

Рассмотрим матрицу первого порядка

Определение 2. Численной характеристикой матрицы первого порядка, то есть определителем первого порядка, называется величина ее элемента

Определение 3. Определителем второго порядка, соответствующим матрице второго порядка, называется число, равное

Очевидно, что для составления определителя второго порядка, необходимо найти разность произведения элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали этой матрицы.

Поскольку одна из форм обозначения определителя и обозначения матрицы имеют много общего (записывается таблица из чисел), то так же, как и у матрицы, говорят о столбцах, строках и элементах определителя.

После того как рассмотрены определители 1-го и 2-го порядков, можно перейти к понятию определителя любого порядка. Но перед этим введем понятие минора.

Определение 4. Минором любого элемента

Обычно минор элемента

Определение 5. Определителем порядка

Обозначается определитель одним из символов

Приведенное выражение представляет собой правило вычисления определителя

В приведенном правиле вычисления определителя фигурирует лишь первая строка. Возникает вопрос, а нельзя ли вычислить определитель, используя элементы других строк?

Теорема 1. Каков бы ни был номер строки

Нетрудно заметить, что в этой формулировке степень при (-1) равна сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент

Докажем сначала эту теорему для

Полученное выражение совпадает с тем, которое было дано в определении, следовательно, для определителя 2-го порядка теорема доказана.

Итак, показано, что определитель может быть разложен по любой строке. Возникает вопрос, а нельзя ли сделать то же самое, использовав произвольный столбец.

Теорема 2. Каков бы ни был номер столбца

называемая разложением этого определителя по

Докажем теорему для

Данное выражение равно величине определителя, введенной по определению.

Итак, на основании теорем можно сказать, что для вычисления определителя

mirznanii.com

.

Пример 2. Вычислить, используя подходящее разложение.

.

Аналогично вводится понятие определителя 5-го, 6-го и т.д. порядка. Значит определитель порядка n :

.

Все свойства определителей 2-го и 3-го порядков, рассмотренные раннее, справедливы и для определителей n-го порядка.

Рассмотрим основные методы вычисления определителей n-го порядка.

Метод понижения порядка определителя основан на следующем соотношении (i фиксированное число): , где Аik алгебраические дополнения к (разложение определителя поi-ой строке). Либо (разложение поj-тому столбцу).

Замечание: прежде чем применять этот метод, полезно, используя основные свойства определителей, обратить в нуль все, кроме одного, элементы его некоторой строки или столбца. (Метод эффективного понижения порядка)

Метод приведения к треугольному виду заключается в таком преобразовании определителя, когда все его элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали, становятся равными нулю. В этом случае определитель равен произведению элементов его главной диагонали.

Пример 3. Вычислить, приведением к треугольному виду.

Пример 4. Вычислить, используя метод эффективного понижения порядка

.

Решение: по свойству 4 0 определителей из первой строки вынесем множитель 10, а затем будем последовательно умножать вторую строку на 2, на 2, на 1 и складывать соответственно с первой, с третьей и четвертой строками (свойство 8 0 ).

.

Полученный определитель можно разложить по элементам первого столбца. Он будет сведен к определителю третьего порядка, который вычисляется по правилу Саррюса (треугольника).

Пример 5. Вычислить определитель, приведением к треугольному виду.

.

Пример 3. Вычислить, используя рекуррентные соотношения.

.

.

Лекция 4. Обратная матрица. Ранг матрицы.

1. Понятие обратной матрицы

Определение 1. Квадратная матрица А порядка n называется невырожденной, если ее определитель |A| ≠ 0. В случае, когда |A| = 0, матрица А называется вырожденной.

Только для квадратных невырожденных матриц А вводится понятие обратной матрицы А -1 .

Определение 2. Матрица А -1 называется обратной для квадратной невырожденной матрицы А, если А -1 А = АА -1 = Е, где Е – единичная матрица порядка n.

Определение 3. Матрица называетсяприсоединенной, ее элементами являются алгебраические дополнения транспонированной матрицы.

Алгоритм вычисления обратной матрицы методом присоединенной матрицы.

Находим определитель исходной матрицы. Если определитель равен нулю, то обратной матрицы не существует. Если определитель отличен от нуля, то матрица А невырожденная и обратная матрица существует.

Находим присоединенную матрицу А * , элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов транспонированной матрицы А.

Вычислим обратную матрицу по формуле

, где .

Проверяем правильность вычисления А -1 А = АА -1 = Е. (Е – единичная матрица)

Матрицы А и А -1 взаимообратные. Если |A| = 0, то обратная матрица не существует.

Пример 1. Дана матрица А. Убедиться, что она невырожденная, и найти обратную матрицу .

Решение: . Следовательно матрица невырожденная.

Найдем обратную матрицу. Составим алгебраические дополнения элементов матрицы А.

Получаем .

studfiles.net

Это интересно:

  • 5 правил для создания условий 5 правил для создания условий TIA: правила и рекомендации для создания программ 78 правил и рекомендаций для создания правильного кода в TIA от Siemens. R: правило S: рекомендация 1. Блоки компилируются без ошибок 2. Все требуемые PLC типы данных находятся в проекте/библиотеке […]
  • Подоходный налог удерживается с больничного листа НДФЛ с больничного листа Актуально на: 24 января 2018 г. Если ваш работник заболел, то за период временной нетрудоспособности вы должны выплатить ему пособие на основании представленного им больничного листа (ст. 183 ТК РФ, п. 1 ч. 1 ст. 2, ч. 1 ст. 13 Закона от 29.12.2006 № 255-ФЗ ). В […]
  • Правила дорожного движения слайды «Правила дорожного движения» Выполнили: Ученики 6 класса Учитель: Тихонова О.И. - презентация Презентация была опубликована 5 лет назад пользователемoomir.ucoz.ru Презентация 6 класса на тему: "«Правила дорожного движения» Выполнили: Ученики 6 класса Учитель: Тихонова О.И.". Скачать […]
  • Образец реестр исполнительной документации в строительстве образец Реестр исполнительной документации в строительстве. Состав исполнительной документации. При завершении строительства объекта встает необходимость передать исполнительную документацию сначала на проверку, а потом уже после устранения замечаний навсегда. Исходя из того что сам постоянно […]
  • Закон о техосмотре 2011 года Закон о техосмотре - июнь 2018 Федеральный закон N 170 от 1 июля 2011 года «О техническом осмотре транспортных средств и о внесении изменений в отдельные законодательные акты Российской Федерации» с изменениями от 4 мая 2018 года. Проверка актуальности: 20 июня 2018 года. Глава 1. Общие […]
  • Нотариусы металлургического района челябинска Нотариусы Челябинска Нотариальные конторы Челябинска Курчатовский район Н.А. Либерман Ул. Красного Урала, 15, оф. 4, т.: 742-35-66, 230-20-83 Ю.В. Рыжкова Комсомольский пр., 47, оф. 1, т. 793-94-35 СВ. Третьяков Свердловский пр., 50, т. 265-90-83 Е.Н. Слипченко Комсомольский пр., 2, оф. […]
  • Налоги готовые контрольные работы годовые контрольные работы по математике 4 класс Годовая контрольная работа. по математике 4 класс.контрольные работы по математике для 4 класса по УМК “Школа России” автор М.И.Моро.Готовые контрольные работы… Русский язык 4 класс [92]. Математика 4 класс [101]. Чтение 4 класс [33]. […]
  • Заявление на уно Аудиторская компания «УНО АУДИТ» уже более 8 лет предлагает бухгалтерское обслуживание предприятия, аудиторские и юридические услуги в режиме аутсорсинга. Мы являемся членом Некомерческого Партнерства «Аудиторская палата России» наши услуги В течение 24-х часов мы свяжемся с Вами и […]