3 определители правила вычисления определителей

admin

3. Матрицы и определители

3. Матрицы и определители

Матрицей порядка (размерности) mn называется прямоугольная таблица, каждый элемент которой снабжен двумя индексами: первый указывает номер строки в матрице, а второй – номер столбца

Пишут также A = (aij) (1≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ n) ; или (aij)mn ; указание размера может быть опущено.

Элементами матриц обычно являются вещественные числа, но возможны и матрицы с элементами иной природы, в частности, в качестве элементов матрицы могут выступать другие матрицы.

При фиксированном первом индексе i набор элементов (ai1, ai2,. ai3…ain) называется i-ой строкой (например, 3-я строка имеет вид (a31, a32, a32,…a3n) ), соответственно, при фиксированном втором индексе j набор называется j–м столбцом. При n = m (число строк равно числу столбцов) матрица называется квадратной “порядка n”.

Совокупность элементов квадратной матрицы ii> с одинаковым номером строки и столбца называется главной диагональю. Если у квадратной матрицы все элементы равны нулю, кроме элементов aii, стоящих на главной диагонали, матрица называется диагональной; если равны нулю все элементы, ниже главной диагонали (kik=0), матрица называется верхней треугольной.

Если все диагональные элементы диагональной матрицы равны единице, матрица называется единичной и обозначается E .

Транспонированием (транспозицией) матрицы называется замена в матрице строк столбцами и наоборот; соответственно, у равных элементов прямой и транспонированной матриц меняются местами индексы. 1 При записи операция транспозиции обозначается штрихом сверху (aik)′=(aki).
^

3.1 Действия над матрицами

Для матриц одного порядка определены линейные операции сложения и умножения на число, которые выполняются покомпонентно, т.е.

Легко видеть, что совокупность матриц одного порядка образует линейное пространство размерности mn , нулем в этом пространстве является матрица, все элементы которой равны нулю. Пространство матриц порядка m´1 очевидно совпадает с введенным ранее пространством столбцов высоты m.

Для матриц кроме умножения на число можно ввести операцию умножения друг на друга; матрицы можно перемножать лишь в том случае, когда число столбцов левого сомножителя равно числу строк правого сомножителя.

Простейшим случаем матричного умножения является произведение матрицы-строки (aij)1n на матрицу столбец (bij)n1 , результатом такого умножения будет матрица порядка 11 , т.е. фактически число

(c)=(aij)1n(bij)n1 = a11b11+ a12b21+… a1nbn1 = (1)

В общем случае результатом умножения матрицы Amn на матрицу Bnr будет матрица C порядка mr , причем ее элементы вычисляются аналогично формуле (1); при этом индекс строки (первый) наследуется от левого сомножителя, а индекс столбца (второй) – от правого сомножителя

cij = (2)

Всего таких сумм для определения всех элементов нужно вычислить mr. Как видно из самого определения, произведение матриц, вообще говоря, не коммутативно, поскольку произведение AmnBnr существует, а BnrAmn – нет 2 . В случае квадратных матриц одного порядка умножение выполнимо всегда, но не всегда коммутативно.

Единичная матрица коммутирует с любой матрицей соответствующего порядка и AE = EA = АA порядка n (проверьте); таким образом, единичная матрица по отношению к умножению матриц аналогична обычной единице.

Умножение матриц дистрибутивно по отношению к сложению, т.е.

всегда, когда операции выполнимы.

Важный частный случай: Amn an = bm , т.е. умножение матрицы mn на n–вектор дает m–вектор. Координаты результата bi определяются выражением: bi =

3.2 Определители

Определителем называется числовая функция квадратной матрицы; процедура вычисления определителей достаточно сложна, и чтобы ее описать нам понадобятся некоторые новые понятия. Определитель матрицы A = (aij) обозначается aij или det A 3 .

Определитель матрицы первого порядка равен ее единственному элементу. Определитель матрицы второго порядка (обычно говорят короче – определитель второго порядка) равен по определению:

det ^ A =

Определители более высокого порядка вычисляются с помощью рекуррентной процедуры , т.е. процедуры, которая позволяет свести вычисление определителя порядка n к вычислению n определителей порядка n–1. Если такая процедура построена, то поскольку определитель второго порядка вычислить можно, значит можно вычислить определитель третьего порядка, а значит можно вычислить определитель четвертого порядка и т.д. Для описания этой рекуррентной процедуры нам понадобятся некоторые определения.

Минором Mij матрицы A называется определитель, который получается из A вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца. Пусть

Тогда

В миноре M12 строк и столбцов по n–1, поскольку из матрицы ^ A вычеркнуты первая строка и второй столбец (проверьте).

Алгебраическим дополнением Aij матрицы A называется соответствующий 4 минор Mij, умноженный на (-1) . Таким образом, если сумма индексов число четное, то дополнение равно соответствующему минору, а если нечетное – то дополнение отличается от минора знаком. Aij = (-1) (i+j) (i+j) Mij.

Определение Определитель порядка n равен сумме попарных произведений элементов какой-либо строки на алгебраические дополнения этих элементов 5

detA = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ai3 Ai3 + … +ain Ain = (3)

Здесь i – индекс строки, по которой вычисляется определитель, он одинаков у всех элементов, входящих в сумму, и их алгебраических дополнений.

Представление определителя в виде формулы (3) называется разложением определителя по i-ой строке.

Разложение определителя по строке сводит вычисление данного определителя к вычислению миноров – т.е. определителей меньшего порядка, и, следовательно, представляет собой искомую рекуррентную процедуру. Поскольку для определителей второго порядка у нас формула есть, и есть способ свести вычисление определителя порядка n к вычислению определителей порядка n-1, то тем самым задача вычисления определителя любого порядка решена.

Отметим, что алгебраические дополнения и миноры некоторой строки не содержат элементов самой этой строки, поскольку получаются из исходной матрицы вычеркиванием соответствующей строки. Следовательно, в формуле разложения по i-ой строке (3) ни одно из дополнений Aij не содержит, например, ai2. Значит, Ai2 является коэффициентом при ai2 в определителе матрицы A. Вообще, дополнение Aij является коэффициентом при элементе aij в определителе detA, т.е., если сгруппировать все слагаемые, которые содержат множитель aij, и вынести его за скобки, в скобках останется соответствующее дополнение Aij .
^

3.3 Свойства определителей

1. Определитель не меняется при транспонировании (при “рокировке” столбцов и строк с одинаковыми номерами). Поэтому любые утверждения, сформулированные для строк, справедливы и для столбцов. В частности, разложение определителя можно проводить не только по строке, но и по столбцу.

2. Общий множитель элементов строки или столбца можно выносить за знак определителя 6

Следовательно, если определитель содержит строку\столбец из одних нулей, то он равен нулю.

3. Верхний\нижний треугольный определитель (в т.ч. — диагональный) равен произведению элементов главной диагонали. 7

4. Если в определителе поменять местами две строки\столбца, определитель сменит знак

5. Если у определителя две одинаковых строки\столбца, то он равен нулю. Это следствие свойства 4, поскольку при “рокировке” одинаковых строк определитель должен с одной стороны – поменять знак, а с другой стороны – не измениться.

6. Если к элементам j–го столбца\строки определителя добавить элементы некоторого произвольного столбца\строки bn, то полученный определитель равен сумме двух определителей – исходного и такого, у которого на месте j-го столбца\строки стоит столбец\строка bn

6. Если к элементам любой строки\столбца прибавить произвольную ли­нейную комбинацию других строк\столбцов, то определитель не изменится.

7. Определитель, у которого одна из строк\столбцов есть линейная комбинация остальных строк\столбцов, равен нулю. Справедливо и обратное утверждение – если определитель равен нулю, то его строки и его столбцы линейно зависимы.

8. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей det(AB) = det(BA) = detA detB

9. Если в формуле (3) разложения определителя умножать элементы i–ой строки на дополнения любой другой строки определителя, получим 0: 8

ai1 Ar1 + ai2 Ar2 + ai3 Ar3 + … +ain Arn = = 0 ( r  i, 1 ≤ r ≤ n)

3.4 Примеры

1. Вычислить определитель матрицы

Используя разложение определителя по элементам первой строки, получим:

Перед вторым слагаемым стоит знак “–”, т.к. сумма индексов минора нечетна: 1+2=3. То, что определитель оказался равным нулю, свидетельствует о линейной зависимости его рядов; действительно, легко заметить, что третья строка равна удвоенной второй строке минус первая строка.

2. . Вычислить определитель матрицы

В данной ситуации естественно использовать разложение определителя по элементам второго столбца:


^

3.5 Обратная матрица

Для квадратных матриц можно ввести понятие обратной матрицы – матрица называется обратной по отношению к матрице A и обозначается A если AA -1-1 = A -1 A = E . Свойство “быть обратной матрицей” взаимно, и взаимообратные матрицы всегда коммутируют.

Теорема 5. Матрица A имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. В этом случае обратная матрица равна транспонированной матрице алгебраических дополнений, умноженной на число, обратное определителю (напомним, что умножить матрицу на число значит умножить на это число каждый элемент матрицы):

(4) 9

Определители взаимообратных матриц – обратные числа: det A 1 =

Матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, в противном случае матрица называется невырожденной.

Если матрицы A и B невырожденные, то и их произведения AB и BA также невырожденные матрицы 10 и, следовательно, имеют обратные. Обратная матрица к произведению матриц есть произведение обратных матриц взятых в обратном порядке 11

3.6 Ранг прямоугольной матрицы

Определитель можно вычислить лишь для квадратной матрицы. Но, выбрав k строк и столько же столбцов прямоугольной матрицы Amn, можно образовать определитель порядка k из элементов матрицы Amn (k≤min(m,n) 12 ), стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов. Такой определитель называется минором порядка k матрицы A и обозначается Mk . Так, например, можно образовать минор второго порядка матрицы A45 выбрав вторую и четвертую строки и первый и пятый столбец

13

Рангом матрицы A (обозначается rg(A)) называется максимальный порядок ненулевых миноров матрицы. То есть, матрица имеет ранг k , если у нее есть (хотя бы один) не равный нулю минор порядка k , а любой минор порядка k+1 равен нулю.

Всякий ненулевой минор порядка rg( ^ A) (т.е. максимального возможного для данной матрицы порядка) называется базисным минором , столбцы и строки матрицы A , из которых он образован, называются базисными.

Теорема о ранге. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк\столбцов. Базисные строки\столбцы линейно независимы, и всякая другая строка\столбец представляется в виде линейной комбинации базисных.▄

В самом деле, по определению ранг равен размерности базисного минора. Но базисные строки\столбцы линейно независимы, т.к. полностью или частично входят в ненулевой определитель – базисный минор. С другой стороны, всякая другая строка\столбец представляется в виде линейной комбинации базисных (иначе ранг базисного минора можно было бы увеличить, присоединив независимую строку\столбец).

zavantag.com

05. Определители 2-го и 3-го порядка и их свойства

, где , =1,2, =1,2,

Которое вычисляется по формуле

,

Называется определителем второго порядка матрицы =.

Пример №17. Вычислить определитель: .

, где , =1,2,3, =1,2,3,

=++,

Называется определителем третьего порядка матрицы =.

В алгебраическую сумму, определяющую определитель третьего порядка, со знаком плюс входят произведения следующих элементов:

Со знаком минус:

.

Det — обозначение определителя (детерминанта) матрицы .

Свойства определителей разберем на примере определителей 2-го и 3-го порядка.

1. Определитель матрицы не изменяется при ее транспонировании

Det = det, где = , =

— обозначение транспонированной матрицы .

Транспонирование – это процедура, связанная с заменой строк матрицы на столбцы

= =

Из первого свойства следует, что любое свойство, сформулированное для строк определителя, справедливо и для столбцов, и — наоборот.

2. Знак определителя изменится на противоположный, если поменять местами два столбца (строки)

= = =

3. Определитель равен нулю, если содержит нулевой столбец (строку)

= 0

4. Определитель равен нулю, если содержит два одинаковые столбца (строки)

= = 0

5. Кооэффициент, на который умножены все элементы некоторого столбца (строки) можно выносить за определитель, как множитель.

=

= = =

=

Пример №18. =

6. Определитель равен нулю, если содержит пропорциональные столбцы (строки)

= 0 ó = = 0 (см. свойство 4)

7. Если в определителе каждый элемент некоторого i-го столбца представлен суммой двух слагаемых, тогда данный определитель может быть представлен суммой двух определителей того же порядка.

Столбцы полученных определителей, кроме i-го столбца, совпадают со столбцами исходного определителя.

I-й столбец первого полученного определителя состоит соответственно из первых слагаемых в суммах, которыми представлены соответствующие элементы i-го столбца исходного определителя.

I-й столбец второго полученного определителя состоит соответственно из вторых слагаемых в суммах, которыми представлены соответствующие элементы i-го столбца исходного определителя.

= +

В силу свойства 1, данное свойство справедливо и для строк.

Определитель не изменится, если к одному из его столбцов прибавить другой его столбец, умноженный на константу (см. свойства 7,6).

В силу свойства 1, данное утверждение справедливо и для строк.

8. Определитель равен нулю, если один из его столбцов (строк) представляет собой линейную комбинацию некоторых других столбцов (строк).

;

У которого третий столбец представляет собой линейную комбинацию первого и второго столбцов с коэффициентами И :

= +

= 0 ó

= + = 0 + 0

matica.org.ua

Это интересно:

  • Вычет по подоходному налогу на строительство Имущественный вычет по подоходному налогу Вы можете добавить тему в список избранных и подписаться на уведомления по почте. Добрый день! Подскажите, пожалуйста по документам, которые работник должен предоставить в бухгалтерию для применения ему имущественного вычета по подоходному налогу […]
  • Залог имущественный прав это Залог имущественный прав это Субсидирование % ставки будет до 01.01.2017 года. Постановление Правительства РФ от 29.02.2016 N 150. Уровень инфляции: 2016 г. - 5,38% 2016 г. - 2,52% Прожиточный минимум: 9786 руб. МРОТ составляет 8700 рублей. Крупному бизнесу Залог имущественных прав на […]
  • Правила начисления за одн Меньше – можно, больше – нет: Минстрой разъяснил порядок начисления ОДН по нормативам По словам замминистра строительства и ЖКХ Андрея Чибиса, цель переноса ОДН в жилищную услугу – защита собственников от некорректного и непрозрачного начисления коммунальных платежей. Корректность […]
  • Лабораторная работа проверка основного закона динамики вращательного движения Проверка основного закона вращательного движения на маятнике Обербека (лабораторная работа) Страницы работы МИНИСТЕРСТВО АГРАРНОЙ ПОЛИТИКИ УКРАИНЫ КЕРЧЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ к выполнению лабораторной работы № 1.6 Проверка основного закона […]
  • Нотариус чернявский оВ Нотариус Бурова Ольга Викторовна г. Екатеринбург Министерство Юстиции Российской Федерации Нотариус Бурова Ольга Викторовна Лицензия на право нотариальной деятельности № 006235 от 21 ноября 1994 года г. Екатеринбург ул. Куйбышева 44 офис 805 Центр международной торговли Екатеринбурга […]
  • Тема объект преступления Тема 5. Объект преступления 1. Понятие и значение объекта преступления. 2. Виды объекта преступления. 3. Понятие и значение предмета преступления. 4. Соотношение объекта и предмета преступления. 1. Понятие и значение объекта преступления Объект преступления - это охраняемые уголовным […]
  • Изучение законов динамики и кинематики поступательного движения Изучение законов динамики и кинематики поступательного движения на машине атвуда Динамика – это раздел механики, который изучает движение совместно с причинами, вызывающими или изменяющими это движение. В основе динамики лежат три закона Исаака Ньютона, сформулированные им в 1687 г. […]
  • Система и виды экономических преступлений Лекция 8. Преступления в сфере экономической деятельности 8.1. Понятие и виды преступлений в сфере экономической деятельности Уголовная ответственность за преступления в сфере экономической деятельности предусмотрена нормами главы 22 УК. Содержащиеся в ней запреты ориентированы на защиту […]