Закон уравнение движения

admin

Вращательное движение тела. Закон вращательного движения

В этой статье описывается важный раздел физики — «Кинематика и динамика вращательного движения».

Основные понятия кинематики вращательного движения

Вращательным движением материальной точки вокруг неподвижной оси называют такое движение, траекторией которого является окружность, находящаяся в плоскости перпендикулярной к оси, а центр ее лежит на оси вращения.

Вращательное движение твердого тела — это движение, при котором по концентрическим (центры которых лежат на одной оси) окружностям движутся все точки тела в соответствии с правилом для вращательного движения материальной точки.

Пусть произвольное твердое тело T совершает вращения вокруг оси O, которая перпендикулярна плоскости рисунка. Выберем на данном теле точку M. При вращении эта точка будет описывать вокруг оси O круг радиусом r.

Через некоторое время радиус повернется относительно исходного положения на угол Δφ.

За положительное направление поворота принято направление правого винта (по часовой стрелке). Изменение угла поворота со временем называется уравнением вращательного движения твердого тела:

Если φ измерять в радианах (1 рад — это угол, соответствующий дуге, длиной равной ее радиусу), то длина дуги окружности ΔS, которую пройдет материальная точка M за время Δt, равна:

Основные элементы кинематики равномерного вращательного движения

Мерой перемещения материальной точки за небольшой промежуток времени dt служит вектор элементарного поворота .

Угловая скорость материальной точки или тела — это физическая величина, которая определяется отношением вектора элементарного поворота к продолжительности этого поворота. Направление вектора можно определить правилом правого винта вдоль оси О. В скалярном виде:

Если ω = dφ/dt = const, то такое движение называется равномерное вращательное движение. При нем угловую скорость определяют по формуле

Согласно предварительной формуле размерность угловой скорости

Равномерное вращательное движение тела можно описать периодом вращения. Период вращения T — физическая величина, определяющая время, за которое тело вокруг оси вращения выполняет один полный оборот ([T] = 1 с). Если в формуле для угловой скорости принять t = T, φ = 2 π (полный один оборот радиуса r), то

поэтому период вращения определим следующим образом:

Число оборотов, которое за единицу времени совершает тело, называется частотой вращения ν, которая равна:

Единицы измерения частоты: [ν]= 1/c = 1 c -1 = 1 Гц.

Сравнивая формулы для угловой скорости и частоты вращения, получим выражение, связывающее эти величины:

Основные элементы кинематики неравномерного вращательного движения

Неравномерное вращательное движение твердого тела или материальной точки вокруг неподвижной оси характеризует его угловая скорость, которая изменяется со временем.

Вектор ε, характеризующий скорость изменения угловой скорости, называется вектором углового ускорения:

Если тело вращается, ускоряясь, то есть dω/dt > 0, вектор имеет направление вдоль оси в ту же сторону, что и ω.

Если вращательное движение замедлено — dω/dt 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Итак, в скалярном виде

Тангенциальное ускоренной материальной точки, которая выполняет вращательное движение

Момент импульса материальной точки

Векторное произведение радиуса-вектора траектории материальной точки массой mi на ее импульс называется моментом импульса этой точки касательно оси вращения. Направление вектора можно определить, воспользовавшись правилом правого винта.

Момент импульса материальной точки (Li) направлен перпендикулярно плоскости, проведенной через ri и υi, и образует с ними правую тройку векторов (то есть при движении с конца вектора ri к υi правый винт покажет направление вектора Li).

В скалярной форме

Учитывая, что при движении по кругу радиус-вектор и вектор линейной скорости для i-й материальной точки взаимно перпендикулярные,

Так что момент импульса материальной точки для вращательного движения примет вид

Момент силы, которая действует на i-ю материальную точку

Векторное произведение радиуса-вектора, который проведен в точку приложения силы, на эту силу называется моментом силы, действующей на i-ю материальную точку относительно оси вращения.

Величина li, равная длине перпендикуляра, опущенного из точки вращения на направление действия силы, называется плечом силы Fi.

Динамика вращательного движения

Уравнение динамики вращательного движения записывается так:

Формулировка закона следующая: скорость изменения момента импульса тела, которое совершает вращение вокруг неподвижной оси, равна результирующему моменту относительно этой оси всех внешних сил, приложенных к телу.

Момент импульса и момент инерции

Известно, что для i-й материальной точки момент импульса в скалярной форме задается формулой

Если вместо линейной скорости подставить ее выражение через угловую:

то выражение для момента импульса примет вид

Величина Ii = miri 2 называется моментом инерции относительно оси i-й материальной точки абсолютно твердого тела, проходящей через его центр масс. Тогда момент импульса материальной точки запишем:

Момент импульса абсолютно твердого тела запишем как сумму моментов импульса материальных точек, составляющих данное тело:

Момент силы и момент инерции

Закон вращательного движения гласит:

Известно, что представить момент импульса тела можно через момент инерции:

Учитывая, что угловое ускорение определяется выражением

получим формулу для момента силы, представленного через момент инерции:

Замечание. Момент силы считается положительным, если угловое ускорение, которым он вызван, больше нуля, и наоборот.

Теорема Штейнера. Закон сложения моментов инерции

Если ось вращения тела через центр масс его не проходит, то относительно этой оси можно найти его момент инерции по теореме Штейнера:
I = I0 + ma 2 ,

где I0 — начальный момент инерции тела; m — масса тела; a — расстояние между осями.

Если система, которая совершает обороты округ неподвижной оси, состоит из n тел, то суммарный момент инерции такого типа системы будет равен сумме моментов, ее составляющих (закон сложения моментов инерции).

www.syl.ru

Учебно-методический комплекс по курсу «физика» (часть 1) «Механика» составитель Милюков В. В. для студентов дневной формы обучения

Уравнение (закон) равнопеременного движения:

, или в координатной форме: .

  1. Уравнение (закон) изменения скорости при равнопеременном движении: , или в координатной форме:
  2. Формула для средней скорости при равнопеременном движении:
    .
  3. П

    Рис.2
    реобразования Галилея, формула сложения скоростей:
    Пусть имеются две системы отсчета, К и К ’ , причем К ’ движется вдоль положительного направления X с постоянной скоростью и в начальный момент времени начала координат совпадали, тогда очевидно , — это и есть преобразования координат, времени Галилея. Продифференцировав преобразования Галилея по времени, получим классическую формулу сложения скоростей .
    Скорость МТ относительно условно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скоростей, относительно подвижной СО и подвижной СО относительно неподвижной.

  4. Формула для пути с исключенным временем: .

Основные определения кинематики вращательного движения:

18. Период – это значение интервала времени, за который тело совершает полный оборот по циклической траектории.
Частота – величина обратная периоду, , .
Число оборотов в секунду равно частоте, но обозначается n, .

19. Угловая скорость – скалярная величина, равная первой производной угла поворота по времени, . Далее мы введем угол и угловую скорость как векторные величины. При равномерном движении .

20. Ускорение при криволинейном движении – имеет две составляющие: тангенциальную, отвечающую за изменение скорости по величине и нормальную, или центростремительную, отвечающую за искривление траектории

С учетом выражения

окончательно получаем: , , где -единичный вектор, направленный к центру кривизны, — единичный вектор вдоль касательной к траектории. Более компактный вывод выглядит так: , следовательно, и .

Типичные задачи кинематики:

Задача №2. Чему равна скорость точек A,B,C,D на диске, рис.4, катящемся по плоскости без проскальзывания (чистое качение).
Изобразите геометрическое место точек диска, у которых скорость по модулю равна скорости поступательного движения диска.

Задача № 3. Два автомобиля едут в попутном направлении с заданной скоростью. На какой минимальной дистанции необходимо держаться второму автомобилю, чтобы обезопасить себя от попадания камней, вырывающихся из-под колес первого автомобиля. Под каким углом к горизонту в системе отсчета, связанной с землей вылетают самые опасные камни? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: , — вперед по ходу движения.

Задача № 4. Критическое для тела человека кратковременное ускорение (при котором есть шанс избежать серьезных травм) равно . Каким должен быть минимальный тормозной путь, если начальная скорость автомобиля равнялась 100км/ч?

Задача № 5. (№1.23 из сборника задач [5]). Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости по закону , где — положительная постоянная. В начальный момент скорость точки равна . Какой путь она пройдет до остановки? За какое время этот путь будет пройден?

Решение: записывая выражение для модуля ускорения и, разделяя переменные, получим: . Интегрируя с учетом начального условия , получим: .
Остановке соответствует момент времени .

Интегрируя выражение для скорости, получаем . Ответ: .

Задача №6 (№ 1.39 из сборника задач [5]). Точка движется по дуге окружности радиуса R. Ее скорость зависит от пройденного пути S по закону , где – постоянная. Найти угол между вектором полного ускорения и вектором скорости в зависимости от S.

Решение: . Разделив переменные и проинтегрировав, получим: ; ; ; ; .

Вопросы для контроля:

  • Можно ли утверждать, что каждая частица покоится в собственной системе отсчета?
  • Можно ли утверждать, что ускорение автомобиля равно нулю, если спидометр все время показывает одно и тоже значение?
  • В какой точке траектории снаряд имеет наименьшую скорость?
  • В чем ошибочность утверждения, что равнопеременное движение – это движение с постоянным по величине ускорением?
  • Как вы себе представляете синхронизацию часов, находящихся в разных частях пространства?
  • Можно ли по уравнению траектории восстановить уравнение движения тела?
  • Могут ли вектора скорости и ускорения составлять между собой тупой угол?
  • Как связаны между собой линейная и угловая скорость?
    Тангенциальное и угловое ускорения?
  • В каких системах отсчета выполняется классическое правило сложения скоростей?
  • В чем суть преобразований Галилея?

1.2. Основы динамики

1.2.1. Законы Ньютона

Если при изучении кинематики материальные объекты никак не проявляют свои свойства и в кинематических задачах исследуются чисто геометрические аспекты движения, то в динамике на первый план выходит исследование физических взаимодействий и их влияние на движение тел.

В основе динамики лежат три закона Ньютона. В элементарных учебниках по физике в последние годы предпринимались многочисленные попытки изменения формулировок законов Ньютона, на наш взгляд большей частью неудачные из-за абсолютизации выражения для силы, являющегося на самом деле условным соглашением.

Что касается первого закона Ньютона, или закона инерции, то здесь разночтения несущественны. Наиболее краткая формулировка выглядит так: свободное тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения относительно инерциальных систем отсчета. Иногда закон инерции формулируется как утверждение о существовании инерциальных систем отсчета. Эти формулировки эквивалентны.

Второй закон Ньютона стало «модным» формулировать в виде утверждения о пропорциональности величины ускорения приложенной силе и обратной пропорциональности ускорения массе тела, .
В таком случае возникают два вопроса: что такое сила? и что такое масса тела? и как они могут быть определены через известные нам понятия? Почему бы тогда не сказать, что масса – это частное от деления силы на ускорение.

Далее мы покажем, что абсолютизация выражения для силы через ускорение приводит к существенным неудобствам, связанным с необходимостью введения продольной и поперечной масс для релятивистских частиц. Кроме того, это выражение не обладает релятивистской ковариантностью, что подчеркивает случайный характер этого соотношения.

Лучше выглядит формулировка Кирхгофа: сила равна произведению массы на ускорение. Теперь это уже не физический закон, а определение. Но этого определения еще не достаточно, так как мы не знаем, что такое масса. Иногда возникает иллюзия, что массу можно доопределить экспериментально, например, с помощью центробежных весов, располагая по очереди различные тела на одинаковом расстоянии от оси вращения за счет подбора различной угловой скорости, а, следовательно, и ускорения. Однако при этом мы вынуждены неявно использовать третий закон Ньютона: любые взаимодействующие тела действуют друг на друга с силами одинаковой природы, равными по величине и противоположными по направлению.

Выхода здесь нет, кроме как признать, что третий закон Ньютона это постулат, а массы (покоя) это постоянные коэффициенты (постоянные множители в принципе наименьшего действия, впрочем, как и заряды частиц). Это отнюдь не противоречит утверждению, что динамическая масса тела является мерой его инертных и гравитационных свойств, а также, мерой полной энергии тела.

Иногда для того, чтобы попытаться спасти абсолютный характер 2го закона Ньютона утверждают, что сила есть первичное понятие, которое ни к чему не сводится и ни через что не выражается. Однако такое интуитивное определение силы недостаточно для обоснования механики; мало того, оно совсем бесполезно. Не важно знать, что такое сила, а важно знать, как её измерить (Пуанкаре).

Так есть ли физический смысл во втором законе Ньютона, или это условное соглашение?

«Скрытый» смысл второго закона Ньютона заключается в двух утверждениях. Первое утверждение Пуанкаре называет обобщенным принципом инерции, который заключается в том, что ускорения тел зависят только от относительных положений этих тел и их относительных скоростей. Иными словами, взаимодействующие тела могут влиять только на ускорения других тел, но не на скорости или координаты непосредственно. Математик бы сказал, что движение всех частиц во вселенной определяются дифференциальными уравнениями второго порядка. Принцип этот далеко не случаен, так как ускорение это первая инвариантная величина, возникающая при дифференцировании радиуса – вектора классической частицы. Кажется вполне оправданным принцип Маха, утверждающий, что различие между инерциальными и неинерциальными системами отсчета абсолютно и связано с распределением массы во вселенной [10].

Следствием обобщенного принципа инерции в случае свободных тел является классический принцип инерции.

Второй смысл закона Ньютона заключается в его линейном характере, нет перекрестных влияний взаимодействующих тел, что создает возможность введения массы тела и порождает принцип суперпозиции сил.

Рассмотрим чуть подробнее проблемы, которые возникают при абсолютизации выражения . При исследовании взаимодействия релятивистского электрона с электромагнитным полем, Лоренц для согласования с выражением ввел продольную и поперечную массу электрона, при этом он также использовал постулат инвариантности заряда и форм инвариантности выражения для электромагнитной силы. Интересно, что Лоренц абсолютизировал наличие двух масс у электрона и считал, что это окончательный факт. Через год продольную и поперечную массу вычислил А. Эйнштейн в своей знаменитой работе «К электродинамике движущегося тела» (1905г.). При этом он допустил ошибку, что свидетельствует, по-видимому, о том, что работу Лоренца он не читал. И лишь спустя два года М. Планк указал, что из принципа наименьшего действия следует ковариантное выражение и при этом уже не возникает необходимость введения двух масс для частиц. Удивительно то, что сам Ньютон формулировал закон именно в такой форме. Иногда пишут [ 1 ], что эта формулировка правильна и в случае релятивистских движений, в то время как упрощенная формулировка не верна. Трудно с этим согласиться, так как в обоих случаях мы имеем дело с условными соглашениями.

Т

ест №1. Изобразите силы, действующие в механической системе

какие силы действуют на тело?

1.2.2. Приемы интегрирования уравнений Ньютона

Рассмотрим уравнение движения материальной точки при условии зависимости силы от координат, скорости и времени

.

Обычно рассматривают три частных случая:

  1. Сила зависит только от времени, , задача решается двукратным интегрированием по времени, (пример — реактивное движение ракеты).
  2. Сила зависит только от скорости, . В этом случае для одномерного движения записывая , можно разделить переменные, и получить зависимость t(v), обращая которую, находим v(t), (пример- движение тела в среде с сопротивлением).
  3. Сила зависит только от координат, , в этом случае интегрирование обычно осуществляется с привлечением закона сохранения момента количества движения и закона сохранения энергии, (классический пример — задача о движении материальной точки в поле центральных сил).
  4. Пример. Вычисление периода колебаний математического маятника.

    Запишем закон сохранения энергии для материальной точки, совершающей колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести: , где: -масса, -длина нити, -угол отклонения нити от вертикали, -максимальный угол отклонения от вертикали.

    Разделяя переменные, получим: .

    К сожалению, интеграл не вычисляется в элементарных функциях, но легко вычисляется численными методами.

    Окончательное выражение для периода колебаний имеет вид , где – полный эллиптический интеграл 1-го рода.

    1.2.3. Принцип относительности Галилея

    Основывается на следующих постулатах:

    1. В любой ИСО пространство однородно и изотропно.

    2. Время однородно и абсолютно, т.е. одинаково протекает во всех ИСО. Скорость распространения сигнала может быть бесконечной.

    3. Масса частиц одинакова во всех ИСО.

    4. Координаты и время в двух ИСО связаны преобразованиями Галилея,
    , , , — преобразования Галилея.

    5. Любое механическое явление, при одинаковых начальных условиях протекает одинаковым образом во всех ИСО (принцип относительности Галилея).

    Обоснование принципа относительности Галилея основано на инвариантности величин, входящих в уравнения механики. Величина называется инвариантной, если она не меняется при соответствующих преобразованиях координат, времени. После двукратного дифференцирования преобразований Галилея по времени, получим , т.е. ускорение инвариантно относительно преобразований Галилея. Сила также инвариантна, т.к. она зависит от относительных расстояний и скоростей. Таким образом, все величины, входящие во второй закон Ньютона инвариантны, следовательно, инвариантны и сами уравнения. Окончательно, принцип относительности Галилея можно сформулировать таким образом: все законы классической механики инвариантны относительно преобразований Галилея.

    Типовые задачи динамики:

    Задача №7. Тормозить или поворачивать? Водитель автомобиля видит стену, перпендикулярную направлению движения. Что меньше: тормозной путь при прямолинейном движении, или минимальный радиус поворота?

    Задача №8. Оцените перегрузку, которую испытывает пилот, при посадке на палубу авианосца. Тормозной путь равен 100м, посадочная скорость 216км/час.

    Задача №9. Шарик для пинг-понга падает с большой высоты. Чему равно ускорение шарика сразу после отскока от абсолютно упругой поверхности.

    Задача №10 (№ 1.59 из сборника задач [5]). Частица движется вдоль оси X по закону , где и – положительные постоянные. В момент t=0 сила, действующая на частицу, равна F0. найти значение силы Fx в точках поворота и в момент, когда частица опять окажется в точке X=0.

    Решение: ; ;

    , ; , ; ;

    ; .

    zavantag.com

    Это интересно:

    • Заявление уфмс воронеж Отдел УФМС России по Воронежской области в Коминтерновском районе г. Воронежа Руководство Управления Начальник Викулина Ирина Викторовна Старший инспектор Филимонцева Лариса Петровна График работы по приему населения Прием: Понедельник: 18.00 - 19.45 Вторник: 14.00 - 16.00 Четверг: 14.00 […]
    • Приказ 837 мвд рф Опубликован Приказ МВД РФ № 707 от 6 сентября 2017 г. Министр внутренних дел Владимир Колокольцев 6 сентября 2017 года подписал Приказ № 707 от 6.09.2017 года О внесении изменений в нормативные правовые акты МВД России по вопросам регистрационно-экзаменационной […]
    • Статья об административных правонарушениях несовершеннолетних Кодекс Российской Федерации об административных правонарушениях от 30.12.2001 N 195-ФЗ ст 6.21 (ред. от 23.04.2018) Статья 6.21. Пропаганда нетрадиционных сексуальных отношений среди несовершеннолетних 2. Действия, предусмотренные частью 1 настоящей статьи, совершенные с применением […]
    • Пришел штраф но за рулем был не я Юридический портал Советы профессионалов Получил штраф за рулем был не я Фирма получила «фотоштраф» из — ГИБДД: а — надо — ли платить В этом случае самое разумное — поступить как при варианте 2 первой ситуации. То есть в течение 10 дней с момента получения «фотоштрафа» написать и […]
    • Штраф за непредоставление ндфл 3 Какой штраф грозит за непредставление 3-НДФЛ, даже если налог платить не нужно? Последний день подачи 3-НДФЛ в 2018 году — 3 мая, а рассчитанную сумму налога на доходы физических лиц нужно оплатить до 16 июля. За несвоевременное декларирование доходов, а также за неуплату НДФЛ […]
    • Толщина иску Араса Агаларова пожурили за брак при строительстве ЦКАД и магистрали "Дон" Судья Московского арбитражного суда Екатерина Аксёнова 22 июня поддержала требования Межрегионального технологического управления Федеральной службы по экологическому, технологическому и атомному надзору […]
    • Учебное пособие водителя трамвая Резник М.Я., Черток М.С. Учебное пособие для водителей трамвая 1-го класса Скачивание файла Введите число с картинки: Поделись с друзьями! Москва: изд-во литературы по строительству "Стройиздат", 1964. - 372 с. Книга содержит краткие сведения по электротехнике, механике и […]
    • Получение гражданства натурализация Оформление и получение гражданства Великобритании Получить гражданство Великобритании сложно, но все-таки можно. Причем в этой стране больше предложений для иммигрантов, чем в остальных европейских странах. В последнее время поток желающих жить в Англии значительно уменьшился, но это […]